矩阵分解及其应用开题报告

全文总字数：1837字

1. 研究目的与意义

数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。这就是矩阵分解的主要目的。而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。就连矩阵的奇异性也显而易见。在另一方面,对于哪些大型的数值计算问题，矩阵的分解方式以及分解过程也可以作为其计算的理论依据。

本课题是研究矩阵分解及其应用。由于矩阵性质千变万化，所需的简化计算以及理论支撑也不同，最重要的是在各种实际应用领域能发挥作用。研究在深入理解基础的三种分解：三角分解法、QR分解法以及奇异值分解法以及它们的应用领域外，还会尝试去寻找新的分解，研究的目的在于发现矩阵分解在新兴领域如互联网、金融行业中起到的作用。

2. 国内外研究现状分析

推荐系统是当下越来越热的一个研究问题，无论在学术界还是在工业界都有很多优秀的人才参与其中，很多国内外的电子平台例如阿里巴巴、百度都举办过类似的竞赛。推荐系统主要是通过构造一个m（对应用户）n（对应属性）的矩阵，利用其中用户对部分属性的评分和未知数来填入矩阵，并通过评估低维矩阵乘积拟合评分矩阵的方法得出目标函数，最后通过迭代算法得出最接近的评估矩阵。该矩阵分解算法目前在推荐系统中应用非常广泛，对于使用rmse（均方根误差）作为评价指标的系统尤为明显，因为矩阵分解的目标就是使rmse取值最小。但矩阵分解有其弱点，就是解释性差，不能很好为推荐结果做出解释。还有该矩阵分解算法的扩展性问题，就是如何加入隐反馈信息，加入时间信息等。

浙江大学的李英明博士说明了矩阵分解在很多需要数据挖掘技术的实际应用，例如信息检索，机器视觉和模式识别等领域。矩阵分解旨在使用两个或者更多的低维矩阵来逼近一个高维矩阵。在现实应用中，数据通常会有各种各样的特点:数据可能会有全局几何结构;数据也可能是非常稀疏的;训练数据集可能是非常有限的。这就需要人们围绕数据的特点设计不同的矩阵分解方法。

从1843年英国数学家w.r.hamilton发现四元数至今,四元数和四元数矩阵方法在刚体动力学、陀螺使用理论、惯性导航、机器与机构、机器人技术、人造卫星姿态控制等领域应用非常广泛。基于此,近20年来国内外对它们的研究已经形成了一个研究热点。 矩阵分解就是通过变换,将某个给定的矩阵分解为两个或三个矩阵标准型的乘积。我们知道矩阵分解理论对研究实(复)数矩阵的理论和计算有着极其重要的作用。同样地,对于四元数体上矩阵的理论研究和计算而言,四元数矩阵分解也占有十分重要的地位。 对单个四元数矩阵,以分解后的四元数矩阵的标准型作为分类的标准,将四元数矩阵的分解分为三大类:对角化分解、三角化分解、三角一对角化分解。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

（1）通过浏览网络、查看期刊来寻找更多的矩阵分解，分析其原理；

（2）在当下热门领域中寻找更多的矩阵分解的实际应用，并用简洁明了的语言阐述出来；

4. 研究创新点

（1）原理、方法和理论分析相结合。

（2）尝试发现更多的应用价值。