试论求解一阶常微分方程的积分因子开题报告

全文总字数：837字

1. 研究目的与意义

微分方程是高等数学中的重要内容。微积分中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，便组成微分方程。通过求解微分方程求出未知函数，只有一个自变量的微分方程称为常微分方程。

常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，用时在物理学，计算机科学，以及生物系统研究中都有广泛的应用。因此，研究常微分方程有利于推动其他学科的研究。

2. 国内外研究现状分析

众所周知，一阶常微分方程的解法是整个常微分方程知识体系的入门和基础。目前一般的一阶微分方程没有通用的初等解法，通过查阅国内外的教材，大部分只讨论了变量分离方程，齐次微分方程，线性微分方程、伯努利方程、恰当方程以及一些具有一元函数积分因子方程的初等解法。常用的解法有常数变易法，积分因子法，积分变换法，幂级数法等。

其中积分因子法是求解微分方程通解的重要方法之一，目前求解积分因子有四种方法：凑微分法、观察法、公式法、分组法。分析认为凑微分法、观察法、公式法对简单的微分方程求解更简单，更清晰，而分组法对于复杂的微分方程求解更显实用。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：(1)积分因子的存在性(2) 积分因子的求法

研究计划：

2017年1月~~2017年3月 收集资料，并进行基础知识的学习。并进行初步的构思，列出论文的提纲。

4. 研究创新点

本文将对关于一阶微分方程求解中所包含的形式解法进行较为全面的梳理与总结，同时尝试挖掘出一种较为少见的一阶微分方程形式并进行探讨得出求法。