Hausdorff测度与维数理论开题报告

全文总字数：2130字

1. 研究目的与意义

由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了飞速的发展。

分形这个名词由mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文fractus转化后引入自然科学领域的。

在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如weierstrass型函数、cantor集、peano曲线、koch曲线、sierpinski缕垫和海绵等。

2. 国内外研究现状分析

自上个世纪八十年代以来，在计算机图形学和应用科学的推动下，分形的基础理论及其在多种学科的应用发展迅速。

由于分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论、材料的结构与控制、力学中的断裂与破坏、信息数据模式识别、自然图形的模拟等领域取得巨大的成功在计算机图形学和应用科学的推动下，分型的基础理论也得以迅速发展，维数的估计与算法，分形集的生成与结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论，分形集的局部结构等方面取得了较为深入的结果。

当前分形理论的研究主要分三种类型。

3. 研究的基本内容与计划

本篇论文主要目的是通过查阅各种相关文献，来了解一些分形维数的常用定义和简单计算方法，并通过维数解决一些实际问题。

论文首先介绍了分形维数的背景和由来，向读者介绍了分形的定义及类型。

然后介绍了最重要的hausdorff维数及测度，以及另外一种常见的维数计盒维数，并且介绍了计算维数的基本方法。

4. 研究创新点

要理解分形首先要理解分形维数，理解分形维数又要重点理解hausdorff 维数。

而目前国内大部分介绍分形的书籍对hausdorff 维数的介绍比较深奥难懂，本文用简明易懂的方法介绍hausdorff 维数及其计算方法，以达到让更多人了解并进一步学习分形的目的。

论文的重心，我们讨论了两类自相似集的hausdorff维数，并得到了这两类自仿射集在hausdorff维数上界的一个计算方法。