分离变量法在求解微分方程中的应用开题报告

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1. 研究目的与意义

分离变量法是用来求解数学物理方程定解问题最常用的方法之一，其基本思想是通过分离变量把求解偏微分方程定解的混合问题转化为求解常微分方程的定解问题，使复杂的混合问题变得简单，其特点是利用具有变量分离形式的特解来构造原初边值问题的解，其理论基础是线性叠加原理和S-L理论。该方法最重要的步骤是代入齐次边界条件变成一个常微分方程的附加条件，从而与该常微分方程构成特征值问题，解出满足方程和边界条件的特征值。方程能够使用分离变量法的基本要求是：混合问题属于线性方程；泛定方程和边界条件是齐次的。对于不满足的情况，可以先转化成满足条件的方程，然后再用分离变量法求解。分离变量法最先是受解决驻波问题的启发而被提出的，但是经过不断地探索发现，分离变量法不仅仅适用于求解驻波问题，对于热传导方程初边值问题、位势方程初边值问题等一系列问题，都可以通过分离变量法来求解。

在现实生活中的各种问题往往是复杂的、多变量的，因此描述客观世界中具体事物的数学物理方程大多数是偏微分方程。比如现实生活中很多问题都可以归结为波动问题：机械工程中的振动问题属于机械波问题；广播可以与电磁波问题联系；声呐的使用属于声波问题。再比如对于人口问题的研究，最初是用常微分方程来描述的（如马尔萨斯模型），但是真实的人口数量往往与多种因素有关，如时间、年龄、出生率、死亡率等，此时就必须用偏微分方程来描述人口问题了。自然界的复杂性和多样性决定了用来描述这些事物的偏微分方程的复杂性，要求解这些问题毫无疑问也是十分复杂和困难的。但是分离变量法刚好弥补了这一缺陷，可以通过转化进而求解常微分方程，这就使得求解工作变得简单了许多，也使得我们解决更多现实问题。

2. 国内外研究现状分析

微分方程一般包括常微分方程（Ordinary Differential Equation）和偏微分方程（Partial Differential Equation），起源于17世纪，并在之后不断地被发掘探索并完善。1691年，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次提出了分离变量法分离变量法在常微分方程中的应用。1965年，伯努利（Nicolaus Bernoulli）在某一学报上提出了Bernoulli方程，次年，莱布尼茨利用变量替换把Bernoulli方程化成线性方程。18世纪初，傅里叶（Fourier）利用分离变量法求解偏微分方程，故该方法又称傅里叶方法。19世纪的一个重要发展方向是位势方程，其中的代表人物是英国数学家格（G.Green），同一时期的数学家、物理学家们都致力于求解物理问题的一般性数学方法。该时期涌现出很多偏微分方程，如Maxwell方程、Navier-Stokes方程等，有了具体的方程，就会想要尝试用各种方法来求解方程，于是分离变量法在这个时期有了很好的发展。一般将求解偏微分方程中的分离变量法称为传统分离变量法，但其实有很多传统分离变量法解决不了的问题，比如二阶椭圆型方程，正是有这些难以解决的问题存在，才推动了该方法的

进一步发展。到现在，分离变量法已经运用到很多方面了，如求解非线性方程的多线性分离变量法、哈密顿系统中的分离变量法等。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：分离变量法在求解微分方程中的应用

1.介绍微分方程以及分离变量法；

2.分离变量法在求解常微分方程中的应用；

4. 研究创新点

1.全面地阐述了分离变量法在不同类型微分方程中的应用；

2.介绍了分离变量法在非线性方程中的应用；

理论知识与实际算例相结合。