波动方程的有限元方法开题报告

全文总字数：1876字

1. 研究目的与意义

有限元方法目前已广泛应用于工程分析中，可以展望其作用在未来更加重要。

有限元方法广泛应用于固体与结构、热传递和流体分析中，事实上有限元法几乎在工程分析的每个领域都得到应用。

有限元不仅在工程领域得到了广泛的应用，也被用来已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。

2. 国内外研究现状分析

现代科学技术工程中的大量数学模型都可用偏微分方程来描述，双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。关于这类方程有限元方法的研究已有一些果。

1、将有限元方法引入对地震波的波动方程的求解[1]中：通常地震波声波方程正演模拟所采用的方程是描述波在均匀介质中传播的波动方程，该方程用于非均质介质时，其模拟结果存在较大误差，因此需要在界面处引入过渡层，即认为弹性参数是连续变化的。采用有限元方法求解非均质声波方程，将单元内的弹性参数插值，使介质上任意一点的位移和应力始终是一个连续函数，这样对于突变界面就能通过过渡层来近似模拟，当该层单元格足够小时可以有效控制误差，提高正演模拟精度。

2、利用有限元方法解决电场波动方程的边值问题[2]：从可控源电磁法的基本原理出发，推导了基于电场矢量波动方程的三维边值问题，利用广义变分原理，把边值问题转换为变分问题，并引入散度条件，避免了伪解的出现，使有限元计算在理论上更加完备。在准静态近似条件下，把水平电偶极子在空中和大地的远区电场闭合表达式作为有限元计算中的区域外边界条件，解决了边界条件加载的困难；把应用于地震模拟中的伪delta函数引入到可控源电磁法中的三维有限元模拟，消除了源点的奇异性，提高了方程组的稳性。通过对均匀大地和层状介质模型的模拟，检验了程序的正确性。

3. 研究的基本内容与计划

1）查阅约15篇文献，综述现状。 1-2周

2）有限元方法的数学理论。 3-5周 3

) 对于对流方程给出有限元方法。 6-8周

4. 研究创新点

有限元方法最初是在分析几个力学问题的物理基础上发展起来的，人们很快认识到有限元方法同样可以用来很好的解决其他领域的问题。

但是，由于波动方程的特殊性，关于时间相关的波动问题的数值分析一直是个难点，有限元方法则更少，于是本文用有限元方法来求解波动方程。