对称特征值问题的预处理方法开题报告

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1. 研究目的与意义

代数特征值问题是数值代数研究的重要内容。

许多科学和工程问题如结构力学中的固有频率分析问题以及控制系统的稳定性问题，最终都转化为特征值问题 。

预处理技术起源于线性方程组的求解中，它是通过对原方程的系数矩阵乘上预处理矩阵，改变系数矩阵的特征谱分布，从而加速原方程的求解。

2. 国内外研究现状分析

陆昊辉在他的硕士学位论文《广义特征值问题中的预处理方法》中对求解大型对称矩阵广义特征值问题的预处理技术作了研究。

将子空间迭代法的预处理技术推广到广义特征值的情况，并根据子空间迭代的特点分析了预处理矩阵的要求，并将预处理方法用到迭代ritz向量法上，并通过数值实验证明了预处理方法能加速子空间迭代法和迭代ritz向量法的收敛。

曲庆国在他的硕士学论文《对求解大型稀疏特征值问题的子空间迭代法的研究》中研究了求解大型稀疏标准对称特征值问题和大型稀疏陀螺特征值问题的子空间迭代法，并重点研究了求解陀螺特征值问题的复子空间迭代法，为了提高预处理子空间迭代法的收敛速度，用chebyshev多项式作用初始迭代向量，使其更接近所要求的特征向量，从而给出了用chebyshev多项式加速的预处理子空间迭代法，并将求解大型阻尼陀螺特征值问题的复子空间迭代法，并分析了其收敛性，并进一步讨论了复子空间迭代法在无阻尼陀螺特征值问题中的应用，并给出了双逆迭代算法和双子空间迭代算法。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：1.对称特征值问题的理论基础及性质。

2.求解对称特征值问题的三种有效方法：davidson方法、子空间迭代法和newton方法。

3.能够加速求解的预处理方法。

4. 研究创新点

1.详细讲解求解对称特征值问题的三种方法。

2.并对部分方法进行推广与比较。

3.通过数值实验对各种方法进行验证。