抛物型界面问题的一种新型数值方法开题报告

全文总字数：1854字

1. 研究目的与意义

现代科学、技术、工程的大量数学模型都可用微分方程来描述，人们也常用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，但遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示，人们常常会遇到界面问题，例如热传导过程中热在不同介质中的传播，心脏中血液流动问题，油藏模拟实验中不同渗透率区域上流体运动问题等，由于界面问题本身的非正则性和实用性，所以如何求解界面问题成为极具挑战性又意义重大的研究方向。

2. 国内外研究现状分析

随着科学技术的发展，从物理学和其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程越来越多，也越来越复杂。

在这其中存在有许多具有间断系数的偏微分方程的界面问题，例如，不同热介质的热传导过程，不同电磁介质的电场分布，人体心脏的血液流动问题以及不同合金之间的拼凑与焊接。

界面问题的研究包含系列关键问题：奇异源项、界面类型以和大比例的间断系数等，这些方面一直以来吸引着大批计算数学和工程领域专家的兴趣。

3. 研究的基本内容与计划

首先，查阅各项文献资料对界面问题的求解方法有一个初步的了解和认识，综述现况；其次，对常规的有限体积法和有限差分法作深度研读，分别从椭圆界面问题和抛物界面问题两方面展开；再者，在原有基础上对有限体积法和有限差分法进行修正；最后，尝试用修正的有限体积法和有限差分法求解抛物界面问题，以具体数值算例为辅助验证方法的有效性和精确性。

时间安排：1． 查阅约15篇文献，综述现状。

2019.12． 掌握椭圆界面问题的修正有限体积法。

4. 研究创新点

在经典有限体积方法的基础上进行适当修正，得到一种更为有效的求解椭圆型和抛物型界面问题的方法，再根据所举出的数值算例，对比进行误差分析和稳定性分析。