分数布朗运动下几何平均亚式权证的定价开题报告

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1. 研究目的与意义

股本权证是由上市公司发行，允许持有人有权利但无义务以约定的价格和时间购买或出售约定数量标的资产的有价证券。持证人为此权利需向发行人支付一定的费用，即权证的价格。由于公司认股证期末需要通过发行新股以应对权证持有人行权要求，而且股本权证由于股本摊薄而存在股价的稀释效应，故其定价与一般的股票期权的定价既相似又有区别。亚式股本权证又称为平均价格权证，它与标准的欧式权证不完全相同，其到期收益不是取决于权证到期日的标的资产价格，而是取决于权证合同期内标的资产在某段时间内的平均价格。关于平均价格，可采取几何平均，也可采取算术平均，相应的权证可分为几何平均亚式权证和算术平均亚式权证。由于亚式权证是路径依赖期权，因此一方面避免了投机者在接近到期日时通过操纵标的资产价格来牟取暴利的可能，另一方面在一定程度上避免了权证价格的人为波动。亚式权证的这种回避风险性使其广泛应用于国际贸易和进出口结算等多个金融领域中，而且权证的T 0交易特点和高杠杆性使其成为短线投资者追捧的对象。从而合理地对亚式股本权证定价和采用合适算法计算亚式权证价值已成为金融数学中的一个热点问题。

2. 国内外研究现状分析

认股权证的设计和投资中，它的正确定价是一个核心问题，而作为投资者，清醒认识认股权证投资中蕴含的风险是至关重要的。在1973年Black-Scholes期权定价公式提出后，认股权证的定价研究进入了一个鼎盛时期。Galai，Schneller(1978)在有效资本市场的假定下，通过单期和多期的分析框架，提出了考虑流通股稀释效应的认股权证定价模型，并考察了权证发行对公司价值的影响。国内学者大多采用这一模型对认股权证的定价进行实证分析。周延（1998）通过对B-S模型的分析，推导出了考虑股本稀释效应的认股权证定价公式。傅世昌（2004）在股本稀释的B-S模型基础上，提出了任何时刻可执行且执行价格为时间函数的认股权证定价模型。

Black-Scholes模型建立在有效市场假设（EMH）之上，但是，对股票市场的大量实证研究都表明股票市场价格并不符合正态分布，存在尖峰肥尾的特征，而且股价存在长期相关性，并不是随机游走的。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并应用R/S分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。国内部分学者针对分形市场也作了实证研究。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，从而论证了市场存在非线性结构；刘韶跃和杨向群(2002、2004)对分数布朗运动环境下标的资产有红利支付的欧式期权定价进行了探讨；周孝华(2002)通过分析布朗运动与分形布朗运动，提出了分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利的股票价格遵循含有分形维纳过程的微分方程。唐斌、李虹蓉（2006）将分数布朗运动定价模型应用于权证分析，利用一些可观察的数据来对公司权益价值及波动率这两个不可观察的变量进行估计，证明其结果比以往的模型更为合理。

3. 研究的基本内容与计划

假设股票价格变化过程服从几何分数布朗运动，建立分数布朗运动下的亚式期权定价模型。利用分数-伊藤-公式，推导出分数布朗运动下亚式期权的价值所满足的含有三个变量偏微分方程。然后，引进适当的组合变量，将其定解问题转化为一个与路径无关的一维微分方程问题。进一步通过随机偏微分方程方法求解出分数布朗运动下亚式期权的定价公式。最后利用权证定价原理对稀释效用做出调整后，得到分数布朗运动下亚式股本权证定价公式。

本文假设标的股票价格变化服从分数布朗运动，利用分数公式，推导出分数布朗运动下亚式期权的价值所满足的偏微分方程。然后，引进适当的组合变量，将求分数布朗运动下亚式期权的定价公式问题转化为求解热传导微分方程解的问题，利用求解偏微分方程的方法得出分数布朗运动下亚式期权的定加公式。最后，结合权证定价原理，给出了分数布朗运动下具有保底摊薄的亚式期权的定价公式。从而为合理定价权证提供了新的思路，为投资者的投资决策方案提供理论依据。

4. 研究创新点

亚式期权是一种依赖标的资产价格路径的期权，即它在到期日的收益依赖于期权整个有效期内的标的资产的平均价格亚式期权在国际贸易基金公司保险公司等许多金融领域有着广泛应用，因而其定价也具有重要意义并且，相对于欧式期权，亚式期权有以下三个优点：

第一，价格更便宜；第二，可有效地减小到期日价格操纵的影响；第三，可以用来对冲在指定时期内的风险然而，由于涉及价格路径，亚式期权的定价要复杂得多。

本文在标的资产（股票）价格服从几何分数布朗运动的前提下，研究具固定敲定价格的几何平均亚式期权的定价。