幂级数求和的方法及其应用开题报告

全文总字数：935字

1. 研究目的与意义

幂级数是一类最简单、应用最广泛的函数项级数。求幂级数和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题，对我们学生来说是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数）,求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。本文一方面对幂级数求和函数的方法作了的总结，另一方面对幂级数的应用也作了些介绍，并尝试发现其在其他学科领域中的应用。

2. 国内外研究现状分析

在幂级数理论中，通常只讨论两个方面的问题：一是幂级数的一致收敛性及其和函数的分析性质，二是将一般函数展开成幂级数。Taylor定理在理论上解决了函数展成幂级数的存在性与唯一性，在通常教材中也都详尽地介绍了函数展成幂级数的各种方法，但反过来，如何求给定幂级数的和函数的方法却介绍的很少。

3. 研究的基本内容与计划

第一部分：介绍函数项级数及幂级数相关定性理论，

第二部分：介绍幂级数求和函数的常用方法：

1、定义法：幂级数的前n项部分和，在收敛域上有极限和等于s(x).

4. 研究创新点

一：介绍幂级数在数学系统内的应用

1、数项级数求和：构造对应的幂级数，所求数项级数是其在收敛域中某点的取值；

2、数列极限问题：针对通项是级数形式，问题转化为数项求和问题；