浅谈计算方法中连续与离散的关系开题报告

1. 研究目的与意义

a.背景

为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论计算方法在数学建模中的应用。计算方法也称“数值分析”，是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即"计算方法"。数值分析(numericalanalysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板（babyloniantablet）上的计算式子。例如所谓的勾股数（毕氏三元数），（3,4,5），是直角三角形的三边长比，在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。

数值分析在传统上一直不断的在改进，因为像巴比伦人的近似值，至今仍然是近似值，即使用电脑计算也找不到最精确的值.

2. 研究内容和预期目标

（1）研究内容：

非线性方程求根可以采用若干数值算法进行操作：牛顿切线法将函数f(x)一阶泰勒展开，化为一次多项式函数，然后强令它为零，进而推导出牛顿迭代格式。割线法是对切线法的一种改进，将导数用差商来近似，得到割线法的迭代式。定积分的数值解法包括梯形公式，抛物线公式和柯特斯公式，它们都是将被积函数用插值多项式代替推导出来的。常用的微分方程数值解法有欧拉公式，改进欧拉公式，梯形公式，龙格-库塔公式等单步法和阿当姆斯公式等多步法。这些方法的推导也同样用到了将函数f(x)用线性函数代替这一基本思想。综上，计算方法好多公式都借用了将连续问题转化为离散问题这一基本思想（化曲为直或者非线性转化为线性）推演得到。该题目拟通过列举若干实例来展示计算方法中连续和离散的关系，这些实例可以借助matlab软件来编程实现。

（2）预期目标：1.查到处理连续与离散的关系的方法并且熟悉这些方法。

3. 研究的方法与步骤

（1）研究方法：

列举若干实例（方程求根、数值积分和微分方程）演示计算方法中连续和离散的关系，采用matlab软件编程实现之。

研究难点:本次设计中理论内容是学习过程中没有遇到过的新问题，因此，理解和掌握连续与离散的关系的理论和算法是一个挑战；另外，如何通过matlab软件来实现某种连续与离散的关系的方法也是本文研究的难点。

4. 参考文献

[1]数值计算方法（上册）.第2版.北京：科学出版社，2005[2]数值计算方法（下册）.第2版.北京：科学出版社，2005

[3]王能超.数值分析简明教程.第1版.北京：高等教育出版社，2002[4]李庆扬，王能超，易大义.数值分析.第3版.武汉：华中科技大学出版社，2003[5]黄铎，陈兰平，王凤.数值分析.第1版.北京：科学出版社，2002[6]袁慰平，孙志忠，吴宏伟，闻震初.计算方法与实习.第4版.南京：东南大学出版社，2005[7]szidarovszkyf,yakowitzs；施明光，潘仲雄译.数值分析的原理及过程.上海：上海科学技术文献出版社，1982

[8]stoerk,bulirschr；孙文瑜等译。数值分析引论.南京：南京大学出版社，1995

5. 计划与进度安排

1、2022年2月22日-3月6日，老师下达任务书，向我们讲授所选论题的状况和要求等。2、2022年3月7日-3月13日，指导老师修改和审定学生开题报告。3、2022年3月14日-4月17日，老师指导我们开始毕业论文写作。4、2022年4月18日-4月29日，学生汇报课题进展情况，回答教师提问。5、2022年5月9日-5月15日，老师批阅论文初稿，提出修改意见。6、2022年5月16日-5月29日，学生论文经批阅达到质量要求后定稿。7、2022年5月30日-6月5日，老师写出评语，给出成绩等第；送评阅教师评阅。8、2022年6月6日-6月12日，学生答辩，答辩委员会提出终审意见，确定成绩，填写评议书。