多种插值法的应用对比开题报告

1. 研究目的与意义

1、研究背景

在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，许多实际问题中碰到的函数有时不容易直接计算，或者只有通过观察和测试得到的一些离散数据，有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不易于计算和理论分析。而插值法可以找到“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。据考证，在公元六世纪时，我国刘焯已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，牛顿和格雷格里建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，拉格朗日给出了更一般的非等距节点插值公式。在微积分产生并且广泛应用后，插值法的基本理论和结果随之有了进一步的完善，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机普遍使用之后，插值法在各领域的地位也越来越重要。当我们需要研究某一事物的本质时，常根据其观测点，利用插值技术对特定问题进行深入拓展和解决，以加深对该事物的认识。

多项式插值是函数插值中最常用的一种形式。在一般的插值问题中，插值条件可以唯一地确定一个次数不超过n的插值多项式。从几何上可以解释为：一个不超过n次的插值多项式可以通过平面上n 1个不同的点。插值多项式有两种常用的表达式形式，一种是拉格朗日插值多项式，另一种是牛顿插值多项式，并且拉格朗日插值公式与牛顿插值公式永远相等。此外，在进行高阶次插值时常常出现不稳定的情况，而采用样条插值和分段线性插值法就可以防止这类情况的发生。分段线性插值或分段三次埃尔米特插值等此种分段低次插值法可以使逼近效果加强，但却整体光滑而不收敛。为此，引入了更理想化的三次样条插值法。

2. 研究内容和预期目标

1、基本内容

我们学习过的插值法有拉格朗日插值,牛顿插值,分段插值,埃尔米特插值与样条插值，通过对这些插值法的对比研究，能够更清晰的了解各个插值法的优缺点以及适用范围，能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。由于这些插值法有不同的优点与适用范围，对于同一个函数的处理结果一定不同，所以要从具体实例入手，通过matlab对拉格朗日插值,牛顿插值,分段插值,埃尔米特插值,样条插值的精度和效率进行比较分析。

2、拟解决的问题：

3. 研究的方法与步骤

拉格朗日插值,牛顿插值,分段插值,埃尔米特插值,样条插值各有优缺点.。针对同一原函数, 用不同的插值方法进行逼近，对这多种插值进行对比，比较优缺点，主要是：1.增加插值节点, 增加节点后的运算量比较; 2.在非插值节点处, 误差的比较。 首先在理论上对结果进行预测并归纳总结, 然后通过计算机软件, 绘制出不同插值法下的函数曲线，最终对得到的结果进行全面的分析，包括插值的效果, 误差大小等，最终得出结论。

4. 参考文献

1. 袁慰平，孙志忠，吴宏伟，闻震初，计算方法与实习(m),东南大学出版社，南京, 2000

2. 华中理工大学数学系，计算方法(m),高等教育出版社,北京；斯普林格出版社，海德堡,1999.8

3. 李庆扬，王能超，易大义，数值分析(m),高等教育出版社,北京；斯普林格出版社，海德堡,2001.8

5. 计划与进度安排

1、2022年2月24日-3月1日，下达毕业论文任务书，布置论文工作要求；

2、2月24日-3月8日，学生完成开题报告，指导教师修改和审定学生论文开题报告。

3、3月9日-5月31日，论文写作阶段。定时向指导老师汇报、交流一次论文进展情况；