矩阵的特征值求解及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题。通常情况下，对于阶数较大的矩阵来说，常规求解矩阵特征值是十分困难，甚至是不切实际的。本文主要探讨求解矩阵特征值和特征向量的一些常用方法以及它们的实际应用。主要包括求特征值和特征向量的幂法，反幂法；求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的qr方法。

矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛探索了特征值和特征向量的几何意义；在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和成分分析法中，特征值和特征向量均有应用。

在实际研究中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用 matlab软件中的函数模型编程适用的算法实现矩阵的特征值的快速计算，再将其与实际应用相结合。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

（1）特征值和特征向量的幂法，反幂法；

（2）求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；

3. 研究的方法与步骤

(1)资料、文献收集;

(2)掌握矩阵特征值算法的基本知识以及框架整理;

(3)现有计算理论的理解吸收，编程软件的熟练掌握;

4. 参考文献

[1] 袁慰平等，《计算方法与实习》[m]。南京：东南大学出版社，2011。

[2] 郑慧娆等，《数值计算方法》[m]。 武汉：武汉大学出版社，2012。

[3] 李庆扬等，《数值分析》[m]。武汉：华中科技大学出版社，2018。

5. 计划与进度安排

（1）3月1日至3月13日

根据毕业论文选题及指导老师下达的毕业论文任务书，搜集、整理与论文有关的、充分的、准确的信息资料，补充与论文有关的知识，完成论文开题报告。

（2）3月14日至5月15日