Sturm-Liouville算子特征值的数值解开题报告

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1. 研究目的与意义

算子理论是以量子力学为应用背景,综合常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法发展起来的一门系统的、内容广泛的数学分支.它是解决数学物理方程以及大量科学技术应用问题的重要数学工具.SL谱与逆谱问题在力学、物理学、地球气象学以及其他自然科学分支具有广泛而直接的应用，尤其是在量子力学中，它是描述微观粒子状态的基本数学手段。

该问题的研究一直被广泛关注，并取得了丰富的研究成果，积分-微分算子的迹公式深刻揭示了积分-微分算子的谱结构，在特征值的计算及其反问题以及孤子理论和可积系统理论中都有很重要的作用。

2. 国内外研究现状分析

1910年,Weyl不仅开创了奇异S-L微分方程的研究,而且首次考虑了微分方程的分析特征.特别是一些新概念和新成果的提出,使S-L理论在20世纪的发展步入了一个新的发展阶段,也为后来的von Neumann和Stone在微分算子理论方面的研究以及为Titchmarsh应用复变换技巧提供了思想渊源.2.1912年,Dixon第一次将系数函数p,q,w的连续性条件由Lebesgue可积条件来代替,此Lebesgue可积性条件也是现代微分算子研究中对系数要求最低的条件.3.1932年,Stone首次在Hilbert函数空问上讨论具有Lebesgue可积系数的二阶微分算子的一般理论.1995年 Despres 首先研究了高维 Sturm-Liouville问题下的Borg方法. 不少学者得到关于高维 Sturm-Liouville问题的一系列性质，并讨论了已知某些谱条件能惟一确定矩阵值势函数.随着时代不断地发展，在系统控制和识别，地球物理勘探，医学以及量子力学等自然科学和工程技术领域中，提出了各种不同形式的逆问题和求解问题的方法. 但是，逆问题作为一个新的研究方向，在各个学科领域中尚处于起步阶段.

3. 研究的基本内容与计划

`分别给出三种分离边界条件下的积分-微分算子的迹公式考虑积分-微分算子L=L(q,M,h,H)边界条件y^(0,b)-hy(0,b)=0.y^(π,b) Hy(π,b)=0分别满足边界条件h=∽,H=a.h=∽,H=∽. h=a,H=∽.h=a,H=a.微分算子的全体特征值的对称函数是否也可用算子量直接表出呢?最简单的对称函数是 ;,不过由于微分算子的无界性,它是发散的.一个自然的想法是将它正则化,即从每项减去发散部分,看是否能用算子量表出其和，给出三种分离边界条件下的积分-微分算子的迹公式。

4. 研究创新点

微分算子的全体特征值的对称函数用算子量直接.由于微分算子的无界性,它是发散的.一个自然的想法是将它正则化,即从每项减去发散部分,看是否能用算子量表出其和，