Matlab在插值方法和数值积分中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

matlab是一个开放的数学应用软件，由美国的clevemoler博士研发而成，主要面对计算科学、可视化的高科技计算环境。以矩阵运算为基础，将数值分析、计算、可视化、程序设计、仿真模拟融合一体，具有工程计算、符号运算、建模仿真、数据分析、图形演示、程序设计等诸多强大功能。matlab以其强大的功能获得广大科技人员的一致认可，同时也越来越多地被应用在高等数学的教学中，为学生能更好地掌握数学知识、应用数学理论提供了良好的平台以及。

matlab包含了大量计算算法的集合，拥有600多个工程中要用到的数学函数，可以快捷方便的实现用户所需的各种计算功能，因此它可以将使用者从繁琐、无味的底层编程中解放出来，把有限的宝贵时间更多的花在解决问题，提高工作效率。

插值方法和数值积分是许多科研工程问题很重要的概念，虽然有很多这类似的问题可以通过分析的方式找到答案，但其计算过程庞大且复杂。所以就必须用数值积分、插值方法求近似解，而matlab就提供了这样的计算方法，使其变得快捷方便。

2. 研究内容和预期目标

插入法：即在已知的函数表中，插入一些表中没有列出的、所需要的中间值。若函数f(x)在自变数x一些离散值所对应的函数值为已知，则可以作一个适当的特定函数p(x)，使得p(x)在这些离散值所取的函数值，就是f(x)的已知值。从而可以用p(x)来估计f(x)在这些离散值之间的自变数所对应的函数值，这种方法称为插值法。通常把近似函数p(x)取为多项式(p(x)称为插值多项式)，最简单的是取p(x)为一次式，即线性插值法。

数值积分：构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

该题目先介绍若干插值方法和数值积分公式，然后列举若干应用实例，最后采用matlab软件实现。

3. 研究的方法与步骤

根据研究对象的特点，然后建立变量之间的对应关系，从而预知这种对应关系在某个范围内的存在性，即获得这种对应关系的的部分信息（某个范围内的一些离散点上的值），这些值构成了观测数据集，它们能够反映的是规律性的函数表达式一般是唯一的。

即确定了采用什么样的插值方法例如拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式等和数值积分公式，然后通过Matlab编程根据获得的这些部分离散点上的值来计算这些离散范围中没有的函数值，即就是通过N 1个数据点，确定唯一的一个N次多项式，从而求出范围内的全部函数值，最后对结果加以分析和说明。

4. 参考文献

[1]徐常青、吴健荣、朱建青、杜大刚等.数学实验与软件计算：中国科技技术大学出版社，2014

[4]杨振华，郦志新.数学实验（第二版）.北京：科学出版社有限责任公司，2018

5. 计划与进度安排

1、2022年2月25日-3月3日，确定选题、收集相关资料。

2、2022年2月25日-3月10日，撰写开题报告与开题。

3、2022年3月11日-5月31日，收集资料，开展研究，形成写作提纲。