多种数值积分方法的应用对比开题报告

1. 研究目的与意义

数值积分，是一种研究并解决数学问题的近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式被称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形被称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性，并且它在科学研究和工程技术领域都有应用。所以，对于如何用数值积分解决实际问题的研究十分有必要。希望通过研究不同数值积分方法在实际问题中的运用，并加以对比，最终能够获得不同数值解法的分析及其适合应用的领域。

2. 研究内容和预期目标

数值积分在实际问题中的应用广泛，它可以利用离散化的数值解法尽可能好地求出积分的近似值。

常用的数值积分方法有复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格算法等。

我将通过对两个实际问题中的积分，使用计算机软件编程，用不同的方法求其近似值，最终对得到的结果作个全面的分析，分析的内容包含各种数值解法的适用性，误差大小比较等。

3. 研究的方法与步骤

本课题将采用计算机软件编程求出积分的近似值，最终对得到的结果作个全面的分析，各种数值解法的适用性，误差大小等。

具体步骤如下：

1. 收集资料。
2. 进行实验准备。
3. 寻找两个实际问题中的积分。
4. 选用不同的数值方法。
5. 通过使用计算机软件编程，求出积分的近似值，最终对得到的结果作个全面的分析，各种数值解法的适用性，误差大小比较等。
6. 整理实验数据，进行结果分析。
7. 将理论与实际结合起来，对研究进行总结。

4. 参考文献

1. 袁慰平，孙志忠，吴宏伟，闻震初，计算方法与实习(M), 东南大学出版社，南京, 2000
2. 华中理工大学数学系，计算方法(M),高等教育出版社,北京；斯普林格出版社，海德堡,1999.8
3. 李庆扬，王能超，易大义，数值分析(M), 高等教育出版社,北京；斯普林格出版社，海德堡,2001.8
4. 邓建中，葛仁杰，程正兴，计算方法(M), 西安交通大学出版社，西安,1985.5
5. 李红，数值分析(M),华中科技大学出版社,武汉,2003.11
6. 颜庆津，数值分析(M),北京航空航天大学出版社，北京,1991.11
7. 关治，陆金甫，数值分析基础（M），科学出版社，北京,1992
8. D avid Kincaid , Ward Cheney，Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)， 数值分析（M）（第3版影印版），机械工业出版社，北京,2005
9. Richard L． Burden , Douglas Faires， Numerical Analysis (SeventhEdition)， 数值分析（M）（第七版影印版）， 高等教育出版社，北京, 2005
10. Curtis F.Gerald,Patrick O.Wheatley,Applied Numerical Analysis（M）, Addison-Wesley Publishing Company, 1994

5. 计划与进度安排

1. 2月25日-3月10日，做好计划，准备材料，完成开题报告，交给指导老师审核。

2. 3月11日-5月31日，钻研资料，完成实验，论文写作。

   定时向老师反馈进度，若有解决不了的问题，思考整理后再向老师请教。

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