偏微分方程的Green函数法开题报告

1. 研究目的与意义（文献综述）

国内外的许多相关的研究以及数值天气预报、大型水坝应力分析等许多例子，说明数值求解偏微分方程在各门科学和工程中的应用。偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题，近些年来，它的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术中应用越来越广泛。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛^[1-3]。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程的发展和应用将变得更加重要！

对不同的方程我们可以结合其他数学学科的知识采取不同的解法。例如，对于波动方程（一类特殊的双曲型方程），我们可以采取“特征线法”，“分离变量法”，“特征函数展开法”等，对于高维波动方程的初值问题我们可以采取“球面平均法”等；对于热传导方程（一类特殊的抛物型方程），我们可以采取“傅里叶变换”的方式；对于位势方程（一类特殊的椭圆型方程），我们可以借助“基本解”，“green函数”等方式对其解决。

本文主要用求解laplace方程的green函数法求解热传导方程和波动方程，其实，求解偏微分方程有很多方法，比如行波法，分离变量法等，但是行波法广泛应用于无解空间的波动问题，有一定的局限性；分离变量法诚然很基本、很重要，可以应用于颇为广泛类型的定解问题，但其解为无穷级数，这总将带来一些不便。在求解laplace方程的过程中常见的方法是分离变量法，对于2维和3维的偏微分方程比较方便求解，若出现了n维的情况下的求解就困难^[4]，因此用green函数求解laplace方程的解就变得很重要。

2. 研究的基本内容与方案

green函数法是求解laplace方程的有效手段，本研究着重考虑利用green函数求解热传导方程以及波动方程。本研究分三个阶段，一是弄清楚求解laplace方程的green函数法；二是用green函数法来求解热传导方程；三是用green函数法来求解波动方程。

从具体的物理过程看，一个偏微分方程表示一种特定的场和产生这个场的场源之间的关系，如laplace方程表示静电场和电荷分布的关系；热传导方程表示温度场和热源的关系等，于是这给求解方程提供了思路：先求点源产生的场，然后利用叠加原理来求由任何连续分布源产生的场，这就是laplace方程等偏微分方程的基本解法，它已成为近代物理偏微分方程研究的重要方法之一^[4-15]。

目前已有的研究是从green函数的基本特点出发，运用green函数的特性对laplace方程进行了求解，得到了一个积分形式的解。此解是一个连续的函数即为调和函数，对该解进行了讨论，可以得到这种积分形式的解可以推导到不同空间中都是成立的^[4]。用green函数来解laplace方程是对偏微分方程的一种特殊的解法，因此我们希望也可以用green函数对热传导方程和波动方程进行求解，并能够得到很好的运用。

3. 研究计划与安排

1-3周：查阅文献，完成开题报告

4-6周：总体设计，完成论文综述

7-10周：设计算法，功能模块设计

4. 参考文献（12篇以上）

[1]陆金甫，偏微分方程数值解[m]，高等教育出版社，2013.

[2]胡建伟，汤怀民，偏微分方程数值解法[m]，科学出版社，1999.

[3]赵国昌,杜霞,宋丽萍,李静.格林函数法求解含移动介质轴向导热的稳态温度场[j].航空动力学报,2014,29(06):1249-1260