约束力学系统的高斯原理与动力学方程开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

本课题研究的背景是包含在当今分析力学和高等数学发展的大环境下，其中分析力学是属于经典力学的范畴，它作为一门学科，已有两百余年的历史，它的创立可以追溯到1788年拉格朗日发表的名著《分析力学》一书开始，后经哈密顿等人的发展使分析力学的理论体系趋于完善。但是在当时拉格朗日还没有认识到非完整系统的存在，直到1894年赫兹才第一次将约束和系统分成完整和非完整两大类，从此对非完整力学才有了较系统的研究。分析力学是研究宏观低速物体机械运动的一般规律。它是与以牛顿基本定律为基础的矢量力学并驾齐驱的另一种力学体系，其特征是以普遍原理为基础，利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，以对能量和功的分析来代替矢量力学中对力和动量的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程，并研究这些方程本身和积分方法。由于分析力学是从普遍的变分原理出发建立系统的运动微分方程，所以分析力学具有高度的统一性和普遍性。

而高等数学的发展最早可以追溯到17世纪，它主要包括分析学、高等代数、高等几何三大块内容。其中分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始，因此，研究变量的微积分是高等数学的特征之一。而高等代数的发展最早开始于十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，而在欧洲，另一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨，微积分学奠基人之一。在行列式之后的1848年，英格兰的j.j. sylvester首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。在1855年矩阵代数得到了arthur 的进一步发展。arthur研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。最后高等几何在19世纪上半叶英国人克莱和德国人克莱因以变换群的观点为指导思想，以一些重要定理为主线，拓展了平面射影几何的基本知识，努力展示射影、仿射、欧氏、双曲、椭圆等多种几何的丰富内容和内在联系，从而使射影几何成为一门完整独立学科。

本课题结合了分析力学和高等数学研究的背景，目的就是把高斯最小拘束原理在前人的基础上做一个推广，比如在前人高斯原理研究出守恒量的基础上，向变质量系统，相对运动系统过度，尝试能否探索出新的守恒量。由于约束力学系统的变分原理的历史与现状，尤其是高斯原理研究的进展还有尚存的问题，把高斯原理应用于某些约束力学系统，如变质量力学系统，相对运动力学系统，有多余坐标系统等都是有重要意义的研究。本课题结合了分析力学和高等数学研究的背景，意义就是在前人基础上把高斯最小拘束原理这个在经典力学中占有重要地位的普遍原理向更细致的方向拓展使其适用性变的更强。

2. 研究的基本内容和问题

本课题主要研究的内容首先是高斯于1829年提出的高斯最小拘束原理，它在分析力学中占有重要地位。高斯最小拘束原理是微分变分原理，它通过比较任一瞬时真实运动与可能运动加速度的不同而得到真实运动的判别准则。该原理适用于具有理想、完整或非完整约束的任意质点系，相应还要研究高斯原理在变质量系统，多余坐标系统，相对运动系统下的发展。其次研究的主要内容是约束力学系统的纳脱对称性，约束力学系统的纳脱对称性可基于作用量——哈密顿作用量和博科夫作用量在无限小变换下的不变性来进行研究，约束力学系统的纳脱对称性也可以基于微分变分原理来进行研究。从经典微分变分原理出发，引进无限小单参数变换群来得到系统的守恒量，包括微分变分原理，和非等时变分等。因为涉及到微分变分原理和非等时变分，所以最后研究的主要内容还应涉及微分变分原理和非等时变分。微分变分原理属于力学原理，力学原理从数学表达的形式上看，可以分为不变分原理和变分原理两大类，每一类又可以分为为微分形式和积分形式两种。不变分原理是反映系统真实运动的普遍规律，如果原理本身只说明某一时刻的运动规律，称为微分原理，例如牛顿第二定律。如果原理能够说明一有限的运动过程，则称为积分原理，例如能量守恒定律。变分原理则不同，它只是提供一种准则，把系统真实运动和约束所允许的一切可能运动区分开来，从而可以找到系统的真实运动。若对于某一时刻则称为微分形式的变分原理，例如高斯最小拘束原理。若对于某一过程而言则称为积分形式的变分原理，例如哈密顿原理。而非等时变分他是为了扩张动力学系统守恒量的类型，需要引进时间的变分而建立的，包括拉格朗日非等时变分，亚当非等时变分，高斯非等时变分等，非等时变分是将时间变化作用在约束允许的可能运动上再和真是运动做比较的一种变分类型。以上主要研究内容都是为了约束力学系统的高斯原理与动力学方程研究做铺垫。

在预期目标上，我准备先参考立群李代数第五章中将拉格朗日非等时变分代入达朗伯尔拉格朗日原理中推到出守恒量的方法。把这个方法引进变质量系统和相对运动系统中去，希望可以找出相应的守恒量。其次另一个目标是，把变质量系统的高斯最小拘束原理和相对运动系统的高斯最小拘束原理结合再通过高斯最小拘束原理的物理意义推导出变质量物体在相对运动系统中的高斯最小拘束原理。

3. 研究的方法与方案

本课题的研究方法和步骤主要是：首先对于分析力学课本内的基本知识结构有一定的理解，其次单独对于高斯最小拘束原理这一章进行深入学习，理解高斯最小拘束原理的物理意义，按照从特殊到一般，再从一般到特殊这一人类认知规律前进，同时配合课后习题加以巩固。将老师发下来的基本论文仔细研究，再通过网络检索查阅相关文献进行补充，以了解高斯最小拘束原理这一课题在前人研究下的发展情况。随后展开自己的思索创新，将前人研究的课题向其他系统推广，使原理其变得更加精细即更方便应用。最后定时将自己的进展与导师沟通听取导师意见，如果发现进展困难及时调整。

4. 研究创新点

四 参考文献

[1] 叶敏，肖龙翔.《分析力学》.天津大学出版社，2001.4

[2] 梅凤翔.《李群和李代数对约束力学系统的作用》.科学出版社，1999

5. 研究计划与进展

（1）毕业实习：第1-3周（3月1日-3月21日）

（2）文献检索，提交开题报告：第4周（3月22日-3月28日）；

（3）论文研究，提交外文翻译初稿：第5-6周（4月1日-4月14日）；