约束力学系统的第一积分与降阶法研究开题报告

1. 研究目的与意义

1687年，牛顿发表巨著《自然哲学的数学原理》，接下来的300年内，经典力学因此得到了非常全面的发展，例如牛顿经典力学，拉格朗日力学，哈密顿力学，非完整力学和birkhoff力学。从我们所学过的牛顿力学来说，他主要是阐述了运动的三大定律，即惯性定律，力与加速度定律，作用力与反作用力定律。其中，最重要的无疑是牛顿第二定律，即f=ma。无可置疑，牛顿力学对经典力学的发展起了奠基的作用。但是，其中的一些缺陷也非常的明显，比如他只能研究宏观物体的运动，却不能研究微观物质的运动；他只能研究速度小于光速的物体的运动，却不能研究大于光速的物体的运动，更没有研究受约束的物体的运动。这些都成为了后人探索的对象。然而，他所研究的万有引力定律，被后人引用到了动力学问题之中，由此牛顿力学对后人的启示可见一斑。

18世纪以来，由于工业革命的带动，科学家将重点放在了研究带有约束的静力学系统和动力学系统的问题上。1743年，达朗贝尔出版了《动力学》。后人对他的理解见仁见智，有人认为它将运动分为两块，有人认为它实质上是把力分为两块，再者还有人认为达朗贝尔只是简单地将牛顿第二定律进行变动而已。其中，大家公认的理解是：对质点系，达朗贝尔原理的表示方法为：

- i=1,2,n

2. 研究内容和预期目标

本课题主要研究Birkhoff系统动力学，变质量系统动力学，包括变质量完整系统的一些理论与变质量非完整系统的一些理论，Birkhoff系统中主要研究约束Birkhoff系统。在这些理论中，主要目标是找出这些系统的运动微分方程，并根据对称性及守恒量简化运动微分方程。预期目标是建立约束Birkhoff系统、变质量完整系统和变质量非完整系统的第一积分，将这些系统进行降阶。

3. 研究的方法与步骤

本课题研究采用的方法为阅读文献法，主要是找到相关系统的一些文献，并找出其运动微分方程。具体步骤如下：

1.循环积分：找出系统运动微分方程中的循环坐标，令相应系统中的相应函数对循环坐标的偏导数为零，从而得到循环积分为（j=1,2，，l），接下来对循环积分进行变换，简化。

2.能量积分：让系统的相应函数不显含时间t，及函数对应于t的偏导数为零，并另取一个广义坐标代替时间t的作用，例如，其他的广义坐标对他的积分则为：（r≠k），接下来再对积分进行转换，简化。

4. 参考文献

必读文献：

1.叶敏，肖龙翔.分析力学.天津大学出版社，2001

2.梅凤祥，吴惠彬.微分方程的分析力学方法.北京科学出版社，2012

5. 计划与进度安排

（1）文献检索，提交开题报告：第3周周五（3月20日）前；

（2）译文初稿提交时间：第8周周四（4月23日）前；

（3）毕业论文初稿提交时间：第13周周五（5月29日）前；