完整系统的分数维梯度表示及其稳定性分析开题报告

1. 研究目的与意义

本课题研究背景：梯度系统是微分方程和动力系统中的重要问题，特别适合用lyapunov函数来研究。若完整系统化为分数维梯度系统后，其势函数可以成为lyapunov函数，则可以利用lyapunov定理来研究系统的稳定性问题。约束力学系统梯度化是研究动力学系统稳定性的一个新途径，有关梯度系统的研究也正受到越来越多的关注。近年来,分数阶微积分理论在力学、物理和应用数学等领域的近代研究中有着广泛的应用。任意阶β ?= 1 (包括β为整数)的梯度系统都称为分数维的。

目的及意义：通过研究完整系统成为分数维梯度系统的条件，将完整系统用分数维梯度系统表示，从而利用分数维梯度系统的性质来研究完整系统的稳定性。若梯度系统的势函数v能成为lyapunov函数，也可利用lyapunov定理通过对函数零解邻域内正负定的判断来分析系统的稳定性。

这一研究既探讨了完整系统化为分数维梯度系统需满足的条件，又提供了利用梯度系统的性质和lyapunov定理研究完整系统的稳定性问题这一新途径，且具有一定的力学意义。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容：1、掌握完整系统的微分方程表达式；2、研究完整系统成为分数维梯度系统需满足的条件；3、研究分数维梯度系统判定稳定性的方法，可结合Lyapunov定理来分析，通过对函数零解邻域的正负定判断来分析系统的稳定性；4、将完整系统用分数维梯度系统表示，利用分数维梯度系统的性质研究其稳定性问题。

预期目标：1. 基于分数维梯度系统，研究完整系统分数维梯度系统表示；2. 根据分数维梯度系统的定义和微分方程，研究使得完整系统成为分数维梯度系统的条件；给出系统势函数的表达式，利用分数维梯度系统的性质，研究完整系统的稳定性问题；3. 能够举例说明结果的应用。

3. 研究的方法与步骤

本课题研究完整系统的分数维梯度表示及其稳定性分析，拟采用的研究方法和步骤为：先建立完整系统的微分方程，根据分数维梯度系统的定义（任意阶β = 1 (包括β为整数)的梯度系统都称为分数维的。）和微分方程，给出完整系统成为分数维梯度系统需满足的条件，若原系统满足条件可以化为分数维梯度系统，则给出系统势函数的表达式，势函数在一定条件下可成为Lyapunov函数，可利用Lyapunov定理研究系统的稳定性，若势函数不能成为Lyapunov函数，则利用梯度系统的性质研究完整系统的稳定性问题。于是，完整力学系统的稳定性问题在一定条件下可以利用分数维梯度系统的性质来研究。

4. 参考文献

[1] 梅凤翔, 吴惠彬. 约束力学系统的梯度表示 [m]. 北京: 科学出版社,2016.

[2] 梅凤翔. 关于梯度系统 [j]. 力学与实践, 2012, 34(1): 89-90.

[3] 梅凤翔, 李彦敏. 弱非完整系统的梯度表示和分数维梯度表示 [j].商丘师范学院学报,2011, 27(9): 1-3.

5. 计划与进度安排

（1）毕业实习：第1-3周（2月24日-3月15日）

（2）文献检索，提交开题报告：第4周（3月16日-3月22日）；

（3）论文研究，提交外文翻译初稿：第5-6周（3月23日-4月5日）；