非局部板自由振动问题的谱几何法研究开题报告

1. 研究目的与意义

经典连续介质理论广泛应用于固体和结构力学行为的建模分析，并取得了丰硕的研究成果，然而对于外部载荷特征尺度与内部微观特征尺度相近情况下的裂纹尖端应力奇异性、高频波弥散现象和微纳米材料等问题，采用经典连续介质理论难以获得令人满意的结果。1966年，Eringen在考虑微观力学中长程效应的基础上提出非局部理论，作为经典连续介质理论的扩充与发展，非局部理论能够有效计及微观尺度效应，为解决考虑内部微观或细观结构的问题奠定了理论基础。

自非局部理论提出以来受到了研究人员的极大关注，理论体系逐步完善，并在黏弹性力学、断裂力学、晶体错位理论等方面的研究中取得了一系列成果，解决了许多经典连续介质力学难以解决的问题。戴天民对连续统理论进行了大量工作，对微极连续耦合场论和极性连续统理论的基本原理进行了详细论述。周振功等采用非局部弹性理论，计算了裂纹尖端应力场，消除了裂纹尖端应力场的奇异性。毕贤顺等推导了半无限大平面不同材料在线性载荷作用下非局部弹性问题的解析解。

2. 研究内容和预期目标

已有文献表明，将md（分子动力学）模拟结果与非局部板模型的数值结果进行匹配，给出了非局部参数的变化规律。结果表明，在适当选择非局部参数和材料特性的情况下，可以非常准确地预测纳米板的振动特性。

fem和能量方法等经典弹性理论中的传统工具需要在非局部弹性理论的分析中使用一些修改，引入非局部弹性理论表征材料尺度效应，获得从纳米尺度到宏观的正交板振动表达式。

常用的纤维增强复合材料板，密肋矩形或三角形加筋板以及钢筋混凝土板均为正交异性板。研究任意弹性边界的的正交各向异性矩形板振动问题有重要的实际意义。建立考虑尺度效应的非局部矩形板模型，获得板的振动特性。研究矩形板的长宽比、非局部特征系数、边界条件对固有频率和振型的影响。

3. 研究的方法与步骤

基于谱几何法设置不同的位移函数，如双重傅里叶级数，研究纳米尺度下矩形板的振动特性。不同于经典连续介质，建立eringen非局部模型，通过非局部特征系数表征材料的尺度效应。将包含非局部参数的非局部应力引入控制方程，不计体力，线性、均匀、各向同性非局部弹性问题的基本方程为：

是拉普拉斯算子，为非局部应力，为经典应力，为非局部材料常数，为内禀长度

4. 参考文献

[1]陈玲,刘金建,李成,姚林泉,范学良.基于非局部弹性理论的纳米板横向振动[j].力学季刊,2016,37(03):485-492.

[2] 刘辰. 非局部压电纳米板的自由振动分析[c]. 中国力学学会、西安交通大学.中国力学大会——2013论文摘要集.中国力学学会、西安交通大学:中国力学学会,2013:165.

[3]田园. 基于非局部弹性理论的石墨烯纳米梁振动特性研究[d].西安电子科技大学,2019.

5. 计划与进度安排

（1）毕业实习：第1-3周（2月2 4日-3月15日）（2）文献检索，提交开题报告：第4周（3月16日-3月22日）；（3）论文研究，提交外文翻译初稿：第5-6周（3月23日-4月5日）； （4）论文研究，提交论文初稿：第7-12周（4月6日-5月17日）； （5）论文修改，提交论文终稿和译文终稿：第13周（5月18日-5月24日）；（6）答辩报告准备（PPT形式）：第14周（5月25日-5月31日）；（7）毕业论文答辩：第15周（6月1日-6月7日）。