三角形板自由振动的改进傅里叶级数法研究开题报告

1. 研究目的与意义

振动是自然界最普遍的现象之一，各个不同领域中的振动现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这种共性的基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题。探讨振动现象，阐明振动基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。

在广泛的工程应用中，三角形薄板具有相当重要的意义，在海洋结构、交通行业、建筑工程和其他多个领域中有着大量的应用，其振动特性一直以来都是备受人们关注的话题。同时，任意多边形结构可以由三角形板结构组合而成，对于任意多边形结构的振动特性研究可以基于三角形板自由振动特性来分析，因此，研究三角形板自由振动是十分必要的。然而在经典力学框架下,由于数学求解方法的困难,薄板自由振动的研究长期以来仅限于矩形薄板,而对于三角形薄板的自由振动问题,依然处于不断探索阶段。

三角形板动力学求解一般围绕其控制方程和边界条件进行。黄文虎用有限单元法以简单三角形平板单元来试算涡轮叶片的振动频率；xiuhai lv等用改进傅里叶级数法研究了具有弹性边界条件的任意形状叠层三角形的自由振动；liz graciela nallim等采用rayleigh-ritz法和非正交的直角三角形坐标研究了具有弹性约束边缘的普通三角形复合板的振动；x. f. zhang等用二维傅里叶级数提出了一种具有弹性约束边缘的求解任意形状三角板振动的方法；侯云山等通过选取适当的基函数并利用pb-2 rayleigh-ritz边界函数得到了一种新型的ritz法对三边简支的等腰三角形mindlin板进行了数值计算；章礼华等给出了占据等腰直角三角形区域的均匀膜的恒振动方程在周边固定情况下的一个解析解；于政文和吕鹏宇采用静力学方法和功的互等定理求解了三角形板的固有频率。

2. 研究内容和预期目标

（1）研究内容

①三角形薄板振动理论模型

提出三角形薄板的模型简介，构建满足弹性边界条件的面内振动位移容许函数，并确保容许函数及其任意场点处空间坐标微分的连续性，列出结构控制方程，之后基于能量原理的瑞利-利兹法求解。

3. 研究的方法与步骤

（1）查阅国内外相关文献资料，了解国内外研究历史与现状，分析以往对三角形板自由振动研究工作的优越性和局限性，进而提出本课题研究的意义。

（2）提出三角形薄板振动理论模型，结合改进傅里叶级数法，用二维傅里叶余弦级数和辅助傅里叶级数的线性组合来解决边界处不连续的问题，计算结果的精度可以通过改变三角级数的展开项数进行控制。

（3）运用理论推导及数值模拟计算相结合的方法，研究不同截断数、不同边界条件、不同形状下的三角形薄板无量纲频率参数的计算结果。结合谱几何法与瑞利-利兹法，列出拉格朗日方程并求解，利用mathematica求解不同边界条件下三角形薄板振动特性计算，将各类情况绘制成表以便对计算结果进行分析。

4. 参考文献

[1]黄文虎.用简单三角形平板单元计算叶片的振动频率[j].哈尔滨工业大学学报,1978(01):92-103.

[2] xiuhai lv,dongyanshi.free vibration of arbitrary-shaped laminated triangular thin plates withelastic boundary conditions[j].

results in physics.2018,11(11).

5. 计划与进度安排

（1）文献检索：第4周（3月16日-3月22日）

收集资料，撰写开题报告，提交周进展。首先要了解结构的谱几何法研究的历史与现状、瑞利-利兹法在结构振动中的研究历史和现状，明确需要进一步研究的问题。其次基于谱几何法、瑞利-利兹法在三角形板的自由振动特性进行研究。期间需要大量阅读文献及期刊，为撰写论文初稿做准备。

（2）论文研究：第5-6周（3月23日-4月5日）