基于谱几何法的梁横向振动的特性研究开题报告

 2022-02-17 21:17:51

1. 研究目的与意义

一、文献综述

长期以来，许多学者对梁的理论进行了大量研究。实质上，梁的理论就是把弹性理论的三维问题还原为一维问题。由于厚度的尺寸远小于长度的尺寸，可以近似地认为位移、应变和应力的分量是基于厚度的尺寸分布的。由于近似方法的不同，近似程度的差异，产生了各种梁的理论。基于弹性梁变形的运动学原理，出现了大量研究梁理论的方法：基于各种假设的方法（包括半逆法、三角函数法、Fourier级数完全展开法）、级数展开法、渐近展开法、逐步近似法、混合法等。在级数展开法中，Taylor级数、McaLaurin级数、Legendre多项式和Bernstein多项式一般关于厚度坐标展开。而在渐近展开法中，一般使用细长比这样的小参数。

经典梁理论也叫Bernoulli-Euler梁，它是建立在最基本的初等假设基础上的，因此它的结果只有当细长梁在低频时才与理论值接近，当在高阶模态或梁为短梁时，其结果与真实情况相差很大。

后人为了改善理论的适用和精确性，对Bernoulli－Euler梁理论不断地进行了修正。Rayleigh 首先对经典梁理论作出了修正，他于1877年在初等理论的基础上考虑了梁弯曲变形所引起的转动惯量，这个理论通常就被称为Rayleigh梁理论。

Timoshenko在1921－1922年提出了Timoshenko梁理论，这个理论同时考虑了梁的弯曲变形引起的转动惯量和梁的剪切变形，这个理论大大地改善了以往的梁的动力学理论。它使得梁在模态阶数不是很高时，在即使不是细长的情况下，它的动力参数的精度也得到了很好的改善，因此Timoshenko梁理论也被广泛的运用到很多实际工程上。

Euler梁结构在日常的生活中应用得非常普遍，如在机械领域中，机械构件中的转轴、汽轮机叶片以及冷凝管子等都可以视为Euler梁结构，在这些结构中，梁结构起着不可替代的作用。由梁结构为基本单元所组成的复杂结构还广泛地存在存在航天工业、土木工程、建筑工程等领域。

许多学者对其进行了研究，如Kim通过欧拉-伯努利模型，通过控制微分方程和边界条件，最后得到固有频率求解方程；Maurizi等对一端加载旋转弹簧刚度一端加载平移约束弹簧的梁模型建立固有频率方程；Krishnan和Rayleigh剪切梁理论模型进行了研究；Abbas建立了梁结构的有限元分析模型；曾文平、许士菊等也对Euler梁结构的振动特性进行了研究。

二、目的和意义

本课题在梁四个边界处分别设置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过改变刚度值来对任意边界条件进行模拟。所有的经典边界条件都能够通过将弹簧系数设置为无穷大或零来简单地获得。拟假设梁横向振动位移的改进傅里叶级数展开式，避免传统傅里叶级数方法的边界不连续，基于能量使用瑞利-利兹法获得系统特征矩阵，研究梁横向振动固有频率等振动特性，当边界条件改变时不需要对理论推导和计算程序进行重新修改，实现了非局部弹性杆纵振特性分析的最为一般情况。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

1、梁横向振动的研究历史和现状

2、梁理论的发展

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3. 研究的方法与步骤

1、建立梁横向振动的微分方程

2、基于改进傅里叶级数法结合边界条件求解微分方程

3、用mathematica编写程序得出结果

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4. 参考文献

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5. 计划与进度安排

[1] 3.26-4.1 文献检索，提交开题报告

[2] 4.2-4.15 论文研究，提交外文翻译初稿

[3] 4.16-5.27 论文整理，总结，提交论文初稿

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