1. 研究目的与意义
1.背景
随着现代科技的发展，我们的生活质量得到了大大的提高，比如说计算机，手机，光纤通讯等等，当然，这些都是科学家们在20世纪50年代开始对于电子和光子方面的进一步研究得到的成果，除了电子和光子，我们每天都能接触到的还有叫做声子的一种粒子[1]，声子影响着声音和热量的传播，如降低噪音，减小震动等，如果进一步研究，将会给我们的生活带来更多的方便与安全，由此科学家们拉开了研究声子的帷幕。20世纪20年代，研究人员们在结合大量实例和量子学的基础上，提出了量子力学这一概念，开创了物理学的新纪元，让人们更深入的了解了物质的各种物理和化学性能的变化规律。在用量子力学研究金属电导理论的过程中，能带理论[2,3]也是渐渐发展了起来，能带理论是现代研究固体电子运动的一个主要理论基础。到了20世纪50年代，大型计算机等计算工具的应用，使得能带理论从普遍性的规律发展到了具体材料复杂的能带结构的计算。
由于许多物理现象具有可类比性，人们认为电子能带的规律也是同样存在于其他物理领域，所以光子晶体、声子晶体和随机介质都引起了人们特别的注意。在1987年，S.John和E.Yablonvitch分别独立发射了光波的带状结构色散曲线，提出了光子晶体的概念[4][5]。既然光波可以通过光子晶体产生带隙，那么同样的，到了1992年，Sigalas和Economou第一次从理论上证实三维周期点阵结构具有弹性波带隙特征[6]，1993年，Kushwaha等人提出了声子晶体的概念[7]，1995年，Martinez-Sala等人在对西班牙马德里的一座200多年历史的雕像研究其声学特性时，证实的弹性波带隙的存在[8]。从此，声子晶体成为研究热点。
2.声子晶体的基本概念及其特征
声子晶体是两种或两种以上弹性介质组成的具有周期结构和弹性波带隙特征的材料和结构。声子晶体的概念即是从光子晶体演变过来的，他们的相似之处便是在于都是模拟天然晶体原子的排列方式，具有周期结构，而不同之处便是光子晶体的能量量子是光子，声子晶体的能量量子的声子。对于一些声子晶体结构，当弹性波在某段频率下，不能通过，对应的这段频率被称为带隙；在其他范围的频率下，弹性波理论上可以无消耗的通过，这便叫做通带[9]。Qian研究各种参数，比如橡胶层高度、橡胶层半径、底板厚度和晶格常数对带隙的影响，通过减小基板的厚度，带隙的起始频率和带宽会越来越宽。通过降低橡胶层的高度，使带隙的带宽变宽，但增加了起始频率。通过增大栅极半径或减小晶格常数，带隙的带宽也会变宽，并且起始频率的变化不大，研究结果为抑制双板结构的振动和降低低频区噪声提供了新的思路[11]。后来，Li研究了用一层简单的软短板和两层共层材料在两个短板中打开局域共振带隙的机理，不仅需要通过调整软端头的厚度和横截面或在软端头上增加一个重帽来获得低频平面谐振模式，还需要在端头中的局域模式与板中的兰姆模式之间进行模式耦合[12]。
声子晶体按照周期的维数，可分为三种，分别是一维、二维、三维声子晶体。一维声子晶体的特点便是呈现出杆状、层状结构层层交错互不相交；二维声子晶体的特点是柱状或者条状散射体平行嵌入基体材料；三维声子晶体是球状散射体埋入基体材料形成各种立方体的周期性点阵结构。声子晶体周期结构的最小周期尺度叫做晶格常数。
3.局域共振型声子晶体板结构
声子晶体按照其带隙机理可分为布拉格散射型声子晶体和局域共振型声子晶体。Bragg散射型声子晶体的带隙频率所对应的波长与晶格常数处于同一量级，局域共振型声子晶体的带隙频率所对应的波长远大于晶格常数，是刘正猷[10]在2000年将包裹了橡胶的铅球放入环氧树脂基体中后发现，为人们使用局域共振型声子晶体实现‘小尺寸控制大波长’提供了无限可能。其后，局域共振型声子晶体的研究开始引起了国内外减振抗噪工作者的高度认识，数年以后，将局域共振型声子晶体材料思想引入杆、梁、板。通过周期性地附加周期共振单元，得到局域共振型人工周期结构（局域共振型结构），研究表明在其带隙范围内可以明显抑制结构振动[21-22]。从此以后，人们便开始对局域共振型声子晶体投入使用与研究。近多年的研究表明，在局域共振声子晶体结构中，由于中间的包覆层为较为软性的材料，再将较硬的材料比如铅球等连接在这种基体上，就组成了具有低频的共振单元。当基体中传播的弹性波的频率接近共振单元的共振频率时，共振结构单元将与弹性波发生强烈的耦合作用，使其不能继续向前传播，从而导致了带隙的产生。通过以上了解可知局域共振型晶体板的好处就是：1.带隙频率远低于布拉格带隙，这样便可以控制更低频率的弹性波，2.带隙由单个散射体的局域共振特性决定，与其排列方式无关，3.带隙宽度由填充率的增加而增加。带隙频率低，便能隔开更低频率的弹性波，这就在建筑材料选择的时候，具有更好的隔音和减振效果。为局域共振型结构的减振抗噪应用提供理论指导和技术支持。
4.研究方法
声子晶体研究主要是带隙特性计算和分析。常用的方法有集中质量法(LM)、多重散射法(MST)【13】、平面展开法(PWE)【14-17】、时域有限差分法(FDTD)【18，19】、传递矩阵法(TM)和有限元方法(FE)【20】。这些方法都有其有缺点，如下表1
表1：声子晶体能带计算方法对比表
| 方法 | 介绍 | 优点 | 缺点 |
| 集中质量法 | 将连续体的质量密度集中到多个有限的节点上，可将复杂的连续体问题转化为简单的离散问题。 | 可以处理任意的单元结构 | 只能计算固固声子晶体计算 |
| 多重散射法 | 该方法认为晶体的能带结构取决于各个散射球之间的弹性米氏（Mie）散射，用来计算从其他球体的声波入射到单球表面的散射 | 收敛型好，适用性强可计算传输特性 | 只能计算球体和椭球体的散射情况，过程复杂 |
| 平面展开法 | 利用结构周期性，将声子晶体的密度与弹性常数用傅里叶级数展开，也与Bloch定理相结合，将波动方程以平面波叠加方法在声子晶体倒格矢空间展开，求解本征值 | 可适用于固固、液液、气气等组成的一、二、三维声子晶体 | 对于处理液固构成的声子晶体，收敛性差 |
| 时域有限差分法 | 先将偏微分弹性波波动方程转化为差分方程，再用数值法计算出弹性波传导过程中所有离散点的振动参数与时间的函数关系 | 可以对各种组分的声子晶体结构进行能带特性计算 | 计算量大，材料组分相差大时收敛性和数值稳定性差 |
| 传递矩阵法 | 从质点的位移、应力等参数的基本方程入手，考虑界面连续条件，得出单个声子晶体的周期传递矩阵，再结合边界条件，得到带隙特性曲线 | 计算量小 | 计算单一，处理二三维问题时困难 |
| 有限元方法 | 利用有限自由度的单元代替了难以精确计算的有无限个自由度的复杂连续系统 | 容易理解，概念清晰，应用范围广，有利于计算机进行高速计算 | 必须用计算机求解计算量大 |
这次的课题的使用方法为有限元法，所以着重介绍一下有限元法，有限元法是近几年一个非常广泛的带隙的计算方法，比如comsol已近是其一款非常成熟的计算软件。他的基本步骤是：利用通过有限元法建立单个元胞的动力学模型，得到由质量、阻尼、刚度矩阵以及位移与节点力的动力学方程。再借助Bloch定理加上位移和力的周期条件，将动力学方程转化成本征值求解带隙结构。有限元法的优点便是可以在电脑上处理任意复杂结构，但是建模过程也是变得十分繁琐。
2. 研究内容和预期目标
1.研究内容
△1.1 查阅论文和对局域声子晶体板结构进行初步的了解
首先去网上了解了与声子晶体有关的各个论文，明白声子晶体的发展史和各个研究人员有史以来对声子晶体的进一步的研究，了解声子晶体可以大面积投入使用的原因，还阅读了导师指导的一本名为“声子晶体”的书籍。
3. 研究的方法与步骤
1.查阅论文与资料
首先先仔细声子晶体这本书的主要是其第四章，声子晶体带隙机理及其调节规律，先初步了解局域型声子晶体带隙的基本特征通过书本上的实例的解答。接着查阅关于声子晶体板的相关论文，通过论文上的对局域型共振晶体板的带隙的研究方法与书本上的相互，争取能进行带隙计算，懂得能带图的大致形状。
4. 参考文献
[1]martin m.sound and heat revolutions in phononics[j].nature,2013,503(7475):209-17
[2]黄昆、韩汝琦，固体物理（第一版）。北京：高等教育出版社，1985.153--228
[3]方俊鑫、陆栋，固体物理学（上册）（第一版）上海：上海科学出版社，1980.229--282
5. 计划与进度安排
[1]3月18日~3月24日文献检索，提交开题报告
[2]3月25日~4月7日论文研究，提交外文翻译初稿
[3]4月8日~5月19日论文研究，提交论文初稿
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