三维空间刚体运动表达方案设计开题报告

本课题根据三维空间刚体运动的理论，采用旋转举证，变换矩阵，变换矩阵，平移向量，欧拉角，四元数等方法结合编程语言进行刚体的研究

两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，若同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，则这种运动称为刚体运动。刚体运动前后的两个坐标系相差一个欧式变换。除了欧式变换之外，还有其它的变换，汇总如下：

欧式变换：保持向量的长度和夹角，包括旋转和平移。

相似变换：比欧式变换多了一个缩放因子s，可以在旋转之后进行缩放。

仿射变换：仿射变换要求A是是一个可逆矩阵，而不一定是正交矩阵。经过放射变换后，立方体可能会变成斜的，但是各个面仍然是平行四边形。

射影变换:射影变换是最一般的变换，左上角为可逆矩阵A，右上角为平移t，左下角为缩放a。

一般说的坐标变换就是欧式变换。

其中我们研究的方法分别有旋转矩阵，平移向量，变换矩阵，旋转向量，欧拉角和四元数。

旋转矩阵：

对于坐标变换，向量本身没有发生变换，只是坐标系变了，根据坐标的定义有：

对上式左右两边同时左乘[e1,e2,e3]T，得：

得到旋转矩阵R， 该矩阵各分量是两个坐标系基的内积，由于基向量的长度为 1，所以实际上是各基向量的夹角之余弦，所以也叫方向余弦矩阵(DirectionCosine matrix)。旋转矩阵是行列式为1的正交矩阵，反之行列式为1的正交矩阵也是旋转矩阵。旋转矩阵集合：

SO(n)称为特殊正交群(special Orthogonal Group)。旋转矩阵的逆描述了一个相反的旋转，且R-1=RT。

平移向量：

欧式变换由旋转变换和平移变换组成，旋转变换由旋转矩阵R描述，平移变换由平移向量t描述，即坐标变换A’=RA t。

变换矩阵：

使用旋转矩阵和平移向量描述坐标系变换，多次变换后公式过于复杂，因此引入齐次坐标和变换矩阵。齐次坐标：在三维向量末尾添加1,变成四维向量。变换矩阵T；将旋转和平移写在一个矩阵里。坐标变换可表示如下：

旋转向量：

用旋转矩阵描述旋转存在以下缺点：

1.SO(3)的旋转矩阵有9个量，但是一次旋转只有三个自由度，因此这种方式存在冗余。变换矩阵同理。

2.旋转矩阵自身带有约束：必须是正交矩阵，而且行列式为1。当想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更加困难。

因此需要一种更加紧凑方式的描述旋转和平移。任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画，使用一个向量，其方向和旋转轴一致，长度等于旋转角，这种向量称为旋转向量（或轴角，Axis-Angle）。这种表示法仅需要一个三维向量即可描述旋转。使用旋转向量加平移向量，只有六维，即可描述一次变换。

旋转向量和旋转矩阵之间的转换

假设有一个旋转轴为n，角度为θ的旋转，则其对应的旋转向量为θ*n。从旋转向量到旋转矩阵的转换使用罗德里格斯公式：

符号^表示向量到反对称的转换符，如下：

反之从旋转矩阵转换到旋转向量，对于转角θ，有：

其中tr(R)表示矩阵R的迹。对于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，即Rn=n，因此转轴n是旋转矩阵R特征值1对应的特征向量。求解此方程，再归一化，就得到了旋转轴。

欧拉角

旋转矩阵和旋转向量虽然能描述旋转，但是非常不直观。欧拉角提供了非常直观的方式描述旋转，将一个旋转分解为3次绕不同轴的旋转。比如先绕X轴，再绕Y轴，最后绕Z轴就得到XYZ轴的旋转。同理得ZYX,ZXY等方式的旋转。这里使用ZYX分解，假设一个刚体的前方(朝向我们的方向)为X轴，右侧为Y轴，上方为Z轴。

1.绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw；

2.绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch；

3.绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。

欧拉角和旋转向量的一个重大缺点是万向锁问题(Gimbal Lock)：在俯仰角为 -90度时，第一次旋转和第三次旋转将使用同一个轴，这使得系统丢失了一个自由度，这被称为奇异性问题。三个实数表示旋转一定会碰到奇异性问题，因为三维旋转是一个三维流形，想要无奇异的表达它，三个量是不够的。因此欧拉角往往只用于人际交互。

四元数：

旋转矩阵具有冗余性，而欧拉角和旋转向量虽然紧凑，但是具有奇异性。四元数(Quaternion)是一种扩展的复数，用它来表示旋转既紧凑，又没有奇异性。一个四元数q有一个实部和三个虚部，如q = q0 q1*i q2*j q3*k ，其中i,j,k为四元数的三个虚部。三个虚部满足如下关系式：

也可以用一个标量和一个向量表示四元数：q=[s,v]，s=q0，v=[q1,q2,q3]，s称为实部，v称为虚部。若虚部为0，则该四元数称为实四元数，反之称之为虚四元数。