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1. 研究目的与意义（文献综述）
我们知道多项式方程f(x,y)=0定义了一条曲线，我们总假设曲线是非奇异的（nonsingular），当该多项式的系数都是有理数时，我们可以求其有理解，即x,y均是有理数的解，我们把全体有理解的集合记作c(q)。这类方程的有理解求解问题一直是数论的核心问题之一。曲线c有一个重要的不变量即亏格，现在我们知道f(x,y)是一次和二次多项式的时候曲线具有亏格0，在四次及以上的情形具有亏格>1，而关于亏格>1的曲线，有如下定理：
定理1[faltings,1983]：如果非奇异曲线的亏格>1，那么c(q)有限.
在亏格为0的情形，关于c(q)也有了成熟的结果，一次的情形很简单，对于有理数域上的二次曲线，如果它具有一个有理点，那么这条曲线上必有无穷多个有理点，且我们可以求出全部的有理点(方法见[1])。在亏格等于1时，情况极其复杂，我们把多项式方程定义的亏格为1的非奇异曲线称为椭圆曲线，并取记号 e。这也是我们将要讨论的对象，此时在仿射平面上f(x,y)可以写成三次方程的形式。人们已经知道定义在q上的椭圆曲线上的有理点e(q)构成一个交换群(见[2][3])。在1922年，mordell首先证明了e(q)是有限生成的阿贝尔群(见[4])（称为mordell-weil群），该结论被称为mordell-weil定理， 该定理是bsd猜想的前提条件(见[5])，也是我们将要讨论的主要定理，不过我们会在任意数域k上来讨论。有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们椭圆曲线上有理点e(q)所具有的统一形式:
2. 研究的基本内容与方案
我们研究的是数学中一类被称为椭圆曲线的对象，由于在“研究的基本内容，目标，拟采用的技术方案及措施”中存在大量的数学特殊符号和公式，此部分详细内容见附件。
3. 研究计划与安排
我们预计在三月份阅读相关文献学习必要的预备知识以及阅读关于椭圆曲线的论著，并在三月下旬提交一份关于椭圆曲线的基础知识的阶段性报告，作为此段学习的总结，为接下来能进入阅读mordell-weil定理的证明细节及相关内容的学习做准备。
预计在三月下旬至四月中旬，完成代数数论必备知识上的一些准备与补充，同时完成数域上的mordell-weil定理的学习，掌握证明思路以及理解证明步骤中的细节，这段时间我们争取在此基础上了解bsd猜想的具体陈述,作为此段学习的总结，我们会在四月中旬提交一份阶段性报告,为接下来的具体例子的计算做准备。
预计于四月及五月上旬，利用我们提到的主要方法去计算某些具体椭圆曲线的秩，弄清其mordell-weil群结构，我们也会尝试找出其部分的生成元，并于五月上旬提交一份阶段性报告。
4. 参考文献（12篇以上）
[1]加藤和也，黑川信重，斎藤毅.数论1——fermat的梦想与类域论[m].胥鸣伟，印林生.北京：高等教育出版社，2009.6.
[2]joseph h.silverman,john tate. rational points on ellipticcurves[m]. new york:springer-verlag, 1992.
[3]james milne.elliptic curves.2006. https://www.jmilne.org/math/books/index.html#2006
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