矩阵乘法可交换的条件开题报告

全文总字数：2521字

1. 研究目的与意义

矩阵的乘法是矩阵的一种重要运算，是沟通矩阵各种等价关系的桥梁。

在现实的计算中，我们把方程组的求解转化为矩阵的乘法运算，将计算简便化，正规化，并通过借助现代计算工具，解决了大量宏大的计算问题，无论是运筹学还是工程数学，矩阵的乘法都发挥着越来越重要的作用。

可以说，代数学离不开矩阵，而矩阵又离不开乘法。

2. 国内外研究现状分析

随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域．计算机的日益普及，使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注．矩阵理论不仅仅是一们重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫 星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和 具体应用背景．由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达 简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此，利用矩阵理论和方法来处理工 程技术上的各种问题越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解 决实际问题常用的一种方法．许多著名的数学学者的参与又为矩阵理论的发展提供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技人员的加入为矩阵理论的应用开辟 了广阔的前景．从而，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具．矩阵计算的理论方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重要方向，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算数学的一个重要分支． 众所周知，在很多领域里，如计算数学、数学物理、卫星通信、控制论、数学规划、数学经济等等，大量实际问题的解决最后都可归结为矩阵的计算问题．在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速 度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算．然而，它又不能完全象数一样运用公式进行实际的运算．这是因为在一般情况下，矩阵的计算不满足乘法的交换律、消去律等．因此，在进行一些矩阵的运算时，数的一些运算公式，在解决一些实际问题时，如网络与安全、 解码器、路由器、卫星通讯等等一些先进的技术领域里对矩阵的可交换性的要求 尤为必要．因此，近年来，越来越多的学者和专家开始从事对矩阵交换的性质和可 交换条件的研究．矩阵理论与线形代数中给出了一些方阵乘积可交换的的充分条 件，较少给出方阵乘积的充要条件．在国内，其中文献{3}、[4]从方阵可同时对角 化方面给出了方阵乘积可交换的若干充分必要条件．由文献[5]、[6]可得朋=XA 是一般Lyapunov矩阵方程AX XB=C当B=-A，C=0时的特殊情况，从而给研究矩阵的交换性质给出了另一个有效的途径．在文献[5-13]中，国内其他的学者也 做了一些相关的研究，并得到了一些较好的关于矩阵交换的充分条件、充要条件 和交换矩阵的完美性质以及一些简单的关于可交换矩阵的求法．在[79]中作者还 把矩阵的可交换性上升到域上进行研究．在国外，以Johnson等为代表的学者利用 符号模式矩阵的概念对矩阵交换的一般性做出了一些突出的研究．符号模式矩阵 (简称符号模式)是矩阵理论的一个重要分支．符号模式矩阵是指元素取自集合 { ，-，0}的矩阵，符号模式矩阵主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合结构，即研 究实矩阵所具有的仅与其符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质．在文献 [7]、[8]中，Johnson等利用符号模式矩阵的组合性质对矩阵的可交换性的一般 性进行了深入研究，揭示了所有的不可约模式矩阵和正模式矩阵的可交换性以及 可约矩阵通过置换矩阵相似变换化成不可约的Frobenius标准型和全非零模式矩阵交换的必要条件进行了深入的探讨．

3. 研究的基本内容与计划

本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，对满足可交换条件的矩阵进行了探究.从矩阵乘法的概念出发，并较为深入的研究了它的性质，其中主要是运算方面的性质，讨论与其他乘法的区别，并重点研究了可交换矩阵及其运用。

另外将矩阵乘法与矩阵的初等变换结合起来 ，研究它与矩阵等价关系之间的联系；将矩阵乘法与矩阵的分解结合起来.

4. 研究创新点

矩阵的乘法是认识矩阵的桥梁，无论是研究矩阵自身的性质还是矩阵的等价关系都离不开矩阵的乘法。

矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文是通过矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.