椭圆型方程的L^2理论及其应用开题报告

1. 研究目的与意义（文献综述）

1.1选题背景

椭圆型偏微分方程是数学物理方程领域内的一个重要分支，如拉普拉斯方程，poisson方程等，在19-20世纪，椭圆型偏微分方程的研究取得了丰硕的成果。椭圆型偏微分方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有广泛的应用。寻找此类线性椭圆型偏微分方程的古典解，也称光滑解，是数学物理方程的重要研究内容。

1.2研究的目的及意义

2. 研究的基本内容与方案

2.1 研究的基本内容、目标

椭圆型偏微分方程l^2理论主要建立在sobolev空间和holder空间上，具体包含了两方面的内容：一、用变分方法找弱解的存在性与唯一性；二、提高弱解的正则性，将弱解变为所求光滑解。

本论文主要内容是介绍椭圆型方程l^2理论的基本内容，研究椭圆型方程的方法，以及常用的技巧，并用之解决一些具有物理或者几何背景的椭圆型方程。首先，对于给定的模型（如从实际问题得到的椭圆方程等）引入适当的弱解概念，通过变分方法，将线性椭圆型偏微分方程的求解问题转化为求解泛函的极小元问题，进而得到弱解的存在性和唯一性，然后应用差分技巧和迭代方法对弱解的正则性进行提升，得到解的光滑性，此光滑解即为该方程的古典解。

3. 研究计划与安排

2月1日—2月20日 查阅文献，了解线性偏微分方程的l^2理论的基本思想和方法；

2月21日—3月31日 了解和研究线性椭圆型方程弱解的存在性和正则性；

4月1日—4月13日 研究poisson-boltzmann方程弱解的存在性和正则性；

4. 参考文献（12篇以上）

[1]伍卓群，尹景学，王春朋，椭圆与抛物型方程引论，科学出版社，2003.

[2]陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆形方程组，北京科学出版社，1997.

[3] 江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994.