微分中值定理及应用开题报告

1. 研究目的与意义

微分学是数学分析的重要组成部分，而微分中值定理则是微分学的核心。

洛尔定理 拉格朗日中值定理以及柯西中值定理统称为微分中值定理，它们是微分学中基本而又重要的定理，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数在区间上整体性的重要工具。

2. 国内外研究现状分析

微分中值定理是微分学的基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容，，它包括罗尔中值定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理。罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形，即当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理结论就是罗尔定理的结论；泰勒定理可以看成是拉格朗日中值定理在导数的阶数上的一种推广，拉格朗日中值定理给出了函数与其一阶导数的关系，而泰勒定理却给出了函数与其高阶导数之间的关系：柯西中值定理是拉格朗日中值定理在变量上的一个推广，拉格朗日中值定理说明了函数对于自变量在一个区间内的平均变化率等于它在该区间内某一点处的瞬间变化率（导数），而柯西中值定理说的却是一个函数对于另一个函数变化率的问题。微分中值定理主要利用函数的导数在区间上所具有的特征在研究函数本身在该区间上的性质，在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：首先，分析微分中值定理，并给出新的证明；其次，分析中值点的渐进性质；最后，将中值定理应用于数值微分的近似计算。

计划: 1）查阅约15篇文献，综述现状。2013.1-2

2）分析微分中值定理，并给出新的证明。 2013.3

4. 研究创新点

应用微分中值定理可以判定函数的性态，研究函数的单调性，求函数极限等等。

利用微分中值定理证明不等式, 通常根据需要证明的不等式先构造辅助函数, 然后借助中值定理去证明, 许多情况下可以应用多种方法综合地进行证明.