常微分方程初值问题线性多步法的推导与分析开题报告

1. 研究目的与意义

目的：在自然科学和经济的许多领域中，常常会遇到许多常微分方程的处置问题，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等,都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。其真解通常难以通过解析的方法来获得，至今有许多类型的微分方程还不能给出解的解析表达式,一般只能用数值的方法进行计算。有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了,特别是计算机的普遍应用,许多微分方程问题都获得了数值解,从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征,为工程技术等实际问题提供了定量的依据。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，是这门学科的理论更加完善。

意义：检验学生对所学的知识创造性研究问题的能力，锻炼学生利用理论知识解决实际问题的能力，培养学生掌握科学研究的一般方法。

2. 国内外研究现状分析

当前国内对于线性多步法的研究是关于刚性问题的一个主要趋势就是在B-理论指导下寻找更有效的新算法。另一个发展趋势就是力图突破单边Lipschitz常数和内积范数的局限，建立比B-理论更为普遍的定量分析理论。

近年来，刚性延迟系统的算法研究成为另一个热点研究领域，张诚坚强Burrage等人创立的针对刚性常微分系统的B-理论拓展到非线性刚性延迟系统。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

(1）掌握常微分方程初值问题线性多步法的基本理论和基本方法。

(2)常微分方程初值问题的adams等线性多步法的推导与分析。相关算法的程序设计，科学计算。

4. 研究创新点

(1）利用Matlab强大的数值计算，通过增加一般线性多步法公式的步数，推导出稳定区域更大的线性多步法，使一些稳定区域是有界的线性多步法的稳定域增大。

（2）利用加权平均法来改进线性多步法的公式。