特征值问题的预处理技术开题报告

全文总字数：1443字

1. 研究目的与意义

本次选题是大型稀疏矩阵特征值问题的预处理技术。许多科学和工程问题中往往会遇到特征值和特征向量的计算，如结构力学中的固有频率分析问题可转化为特征值问题，在电磁学、机械和结构振动等问题中遇到类似的固有值、临界值等问题以及控制系统中的稳定性问题，最终都会转化为特征值问题，所以特征值问题的计算有着重要的意义。而预处理技术是通过相关方法将大型稀疏矩阵简化或是映射到子空间从而更易得到特征值。

2. 国内外研究现状分析

在科学和工程等众多领域中涉及到大规模矩阵的计算，常常要计算超大型特征值问题。目前已经有不少大型特征值得有效方法，如乘幂法，子空间迭代法，lancezos方法和块davidson方法等。1975年，e.r.davidson提出了计算大型对称矩阵极端特征值问题的一种新方求解大型对称矩阵特征值问题的预处理技术和加速技术法davidson方法。继e.r.davidson之后，许多学者对davidson方法进行了研究和改进：m.crouzeix等人将在《thedavidsonmethod[j]》中将davidson方法推广到了块形式。1996年，jacobi等人在《ajacobi-davidsoniterationmethodforlineareigenvalueproblems[j]》中提出了求解对角占优对称的正交分量修正方法，通过对jacobi方法和davidson方法的研究，提出了jacobi-davidson方法。这些改进使得davidson方法变得更加灵活和有效。

国人在这些方面的研究也取到了不少的收获。

最近二十多年来大型特征值的加速和预处理技术已经取得了巨大的进步，上世纪90年代以来该课题已经成为了数值代数领域的热门研究课题。早在2002年，赵中华教授就发表了《子空间迭代法的加速与预处理技术》，该文研究求解大型对称矩阵特征值问题的子空间迭代法.为了加速子空间迭代法的收敛性,应用chebyshev多项式与预处理技术,得到了两个新的改进算法。在之后的几年里，又有大量学者研究chebyshev-子空间迭代法,在科学和工程等众多领域都有着广泛的应用。

3. 研究的基本内容与计划

第一阶段：（2016年12月中旬）：论文定题，确定指导老师，收集并阅读相关的文献资料；

第二阶段：（2016年12月下旬至2017年2月）：审查、修改、完成开题报告；

第三阶段：（2017年3月）：查阅资料，调查研究，与导师沟通，做出论文初稿；

4. 研究创新点

针对块Davidson方法给出预处理矩阵M的一种新取法，进而避免块Davidson方法中断或停滞且加快了其收敛速度。首先取M1为A的大部分非零元素组成与A的结构相同的矩阵，为了保证M1-tI的正定性，我们取M=M1 aI，其中a1=a=a2，a1、a2分别为A的最小和最大对角元，从而可以利用不完全LU分解，使得M-tI容易求逆。这样选取，即使M1=A，只要a选取适当，我们可以避免块Davidson方法中的中断或停滞。M1越接近于A，块Davidson方法收敛越快，但M-tI的求逆也变得相对困难，因此既要加快收敛速度，又要限制预处理过程的复杂性，这需要一个很好的平衡。