高波数Helmholtz方程的理论和数值模拟开题报告

全文总字数：1765字

1. 研究目的与意义

各种波的问题如何进行数值求解是人们一直关注的对象，如果我们考虑时谐波来替换的话，波的模型就可以被简化为亥姆霍兹方程。helmholtz 方程是一类重要的物理方程，对于 helmholtz 方程的应用，我们可以在现实生活中很多地方都找到应用，具有非常重要的理论和应用的研究意义。在许多领域都有对 helmholtz方程的研究，其工程应用背景主要表现在如下几个方面：1、各种实际的复杂电磁场问题。例如：在雷达目标隐身和反隐身技术研究，雷达目标特性识别，复杂天线系统设计，现代电子系统电磁兼容性分析，电磁波传输问题等领域。2、结构声学数值计算。例如：噪声的控制，水下声波，航空航天中的声学现象研究。3、地震研究领域。例如：地球物理应用中的运动问题。

从公式上看 helmholtz 方程和 possion 方程有些相近，possion 方程的零扰动性使所得到的矩阵都具有很好的性质，如正定性，这使得 possion 方程的求解已经形成了很多有效的数值计算方法，但和 possion 方程相比，helmholtz 方程并没有继承 possion 方程同样良好的性质，helmholtz 方程产生的是不定的矩阵，导致当我们使用数值方法求解方程时都会产生计算的扰动。我们为了对 helmholtz 方程进行数值求解，需要对其进行离散处理。处理的方法有很多种，如有限差分法，有限元法，有限体积法，边界元法等等，而各种方法各有其独特的优点。目前，对于 helmholtz 方程问题的数值解主要有有限元方法和有限差分法，边界元法三大类。有限元方法的优点是求解的精度高，区域的边界比较灵活，但其不足之处在于：所需计算量和存储量也很大，实现隐格式比较困难，这在一定程度上阻碍了有限元方法的进一步应用和发展，边界元虽然能适应较多的情形，但精度往往不高，而有限差分方法则是一种比较经典的数值方法。有限差分法的优点是计算和理论分析比较简单，因此在实际应用的数值方法中占有很大比例。

众所周知当有限元方法运用在高波数helmholtz方程时会受到汚染项的影响,即有限元解的误差与有限元空间中最佳近似解的误差的比值关于波数k不是一致的.本文将利用最近提出的连续内罚有限元方法来求解这个问题.

2. 国内外研究现状分析

一些重要的物理、力学学科的基本方程已先后称为比较熟知而重要的应用偏微分方程，并在相应的学科中起着具有基本重要性的作用。对这些方程的研究已具有相当的规模与深度，但仍有很多重要而且基本的理论和实际问题亟待深入研究。在此基础上，由于考虑到几种因素的联合作用和相互影响，还出现了反应扩散方程、电磁流体力学方程组、辐射流体力学方程组等，进一步开拓可应用偏微分方程的研究对象和应用范围。

除传统的领域外，在化学、生物学甚至社会科学等非传统的应用领域内，也不断归结出一些重要的偏微分方程，成为应用偏微分方程发展的一个新的重要的源泉。

在数学的其他分支，特别是整体微分几何的研究中，不断提出了一些有重要意义的非线性偏微分方程，引起了广泛的注意与重视，并已作出了出色的成果。

3. 研究的基本内容与计划

内容：首先，推导出电磁理论中的helmholtz方程及其边界条件的提法；其次，给出连续内罚有限元方法求解helmholtz方程；最后，给出加罚参数关于关于高波数问题的关系；并要求编程具体实现。

计划：

1）查阅约15篇文献，综述现状。 2017.1 2）推导出电磁理论中的helmholtz方程及其边界条件的提法。 2017.2

4. 研究创新点

众所周知当有限元方法运用在高波数Helmholtz方程时会受到汚染项的影响,即有限元解的误差与有限元空间中最佳近似解的误差的比值关于波数k不是一致的.本文将利用最近提出的连续内罚有限元方法来求解这个问题。参考内罚有限元离散及经典的渐进误差分析、内罚有限元方法的稳定性估计、内罚有限元方法的误差估计、线性有限元的稳定性和误差估计等，并结合麦克斯韦方程组，推倒此方程，来解决问题。