中值定理及其应用开题报告

全文总字数：1838字

1. 研究目的与意义

微积分的出现，大力的推动了数学的进步。费马作为微积分的创立者，在研究极值问题的解决方法时，得出了最初形态的费马定理。从费马定理开始，人们对中值定理的研究经过了漫长的时间，就是在这不断探索、推陈出新的过程中，人们逐渐认识到它们内在的联系和本质，中值定理才有了如今的模样。中值定理作为微积分学的基础，反映了函数与导数之间的联系，在数学上有着广泛的应用。例如，在一些理论分析和定理证明中，中值定理都起到了重要的作用。

中值定理又分为微分中值定理和积分中值定理。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。 中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。

作为数学分析课程中的重要内容，同时也是微分学的基本定理之一，微分中值定理将函数与导数两种不同函数联系在了一起，以研究函数在定义域上的整体形态。微分中值定理是研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分，历来受到人们的重视，具有重要的几何意义和运动学意义。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。

2. 国内外研究现状分析

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637年，法国著名数学家费马（Fermat，16011665）在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，在许多教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这个定理推广到可微函数，并把此命题命名为罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国的数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，其三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》及《微分计算教程》以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理，随后又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理柯西定理。时至今日，人们对中值定理的讨论依然没有停止。根据中国知网的数据显示，相关中值定理的论文数量以平均每年两百篇的数量增长着。

3. 研究的基本内容与计划

论文将通过查阅书籍、文献、期刊的方式，来收集与中值定理相关的资料。对中值定理的历史背景、概念以及它的应用和发展状况进行一个整合。论文会详细的解释微分中值定理和积分中值定理，在理解的基础上，对它的应用进行讨论，并添加自己的观点，是论文更加丰富。微分中值定理的应用重要包括：根的存在性的证明、不等式和等式的证明、求不定式、函数的单调性和极限、函数的近似值和最值求解。积分中值定理的主要应用包括：证明函数的单调性、定积分的极限求解、比较积分大小、估计积分值等。

研究计划

第一阶段：2017年01月31日2017年02月28日，收集资料；

4. 研究创新点

本课题的特色在于，针对中值定理理论性较强、内容抽象，在许多的教材中定理的形式单一，同时理解和应用起来比较困难的情况，加强对中值定理的理解，并详细地分析并总结中值定理在各方面的应用、证明与推广。