凸函数及其应用开题报告

全文总字数：2113字

1. 研究目的与意义

凸函数是一类相对比较重要的函数，它的概念最早出现在jensen[1905]著述当中。它在很多的领域中都有着广泛应用，比如数学规划、对策论、经济学、变分学和最优控制等。广义凸函数的产生，在理论上对凸函数进行了一个很大的突破，使凸函数在实践中的应用加强了。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。本文从凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等一系列问题进行初步研究。最后在微观经济学方面，研究了凸函数的关于金融决策方面的一些内容。

凸函数属于函数的一种，在数学之中使用的最为广泛。在数学中我们一般就是利用其性质来证明各类不等式，将复杂的不等式进行一定的变换得到你想要的凸函数形式，然后得出证明。这样便化难为简了。

本文讨论的关键问题是凸函数在数学中的不等式证明，将凸函数的性质用来证明不等式与传统的方法比如说数学归纳法比较，凸出前者的便利性。在本章中我们就三种不等式进行简单的证明，所用到的大多是凸函数的简单性质以及相关的定理。在这些不等式中有些比较复杂，一般的证明方法来证明就比较困难了。然而当我们用凸函数时，这些实际问题便容易得到了解决。所以证明不等式也就是凸函数性质的一个非常重要的应用，但是关键的是我们要把复杂的不等式经过一些变换从而得凸函数的形式。

2. 国内外研究现状分析

凸函数是一种十分重要的数学概念，它在许多领域都有具有广泛的应用。正是由于凸函数有许多优良的性质的应用，现已经成为许多学科的重要理论基础和有力工具。2010年梁艳在发表《凸函数的应用》[4]一文阐述了凸函数的性质在证明数学中不等式应用。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》[5]一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》[6]，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。现在由于凸函数在概念上的净瓶，出现许多的新的发展，比如广义凸函数，下面简单的介绍一下些。凸函数的理论起源于本世纪前期，最初的理论奠基来自于Jenson，Hold等的著述之中，但是那时候并没有引起人们的关注。然而就在本世纪的40，50年代才引起了广泛的重视，由于某种的需要随之而来的就是对其概念研究，已经在运用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我们的学者对其进行了大量的研究，并得到了一些重要的，有价值的研究成果。于是在上世纪60年代产生了凸分析，其概念也被推广。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：首先本文先对研究的背景和意义进行描述，其次会对凸函数的等价定义及其之间的关系进行研究，然后本文会分析凸函数的几种重要性质，最后是研究凸函数在经济学方面的应用，主要是关于金融决策的应用。

研究的计划：

1．2017年1月到2月，查阅关于凸函数及其应用的文献资料与书籍，结合文献和相关书籍出分析和研究，并进行整理，对凸函数的等价定义、凸函数的性质及凸函数的应用进行整理。2.2017年2月到3月，研究并写出开题报告，根据各种文献中对凸函数及其应用的研究和探讨情况，定量分析文献资料，并基于文献提出有关值得探讨和挖掘的问题，列出论文提纲。3.2017年3月到5月，对外文资料进行整理、分析文献，写出初稿。写作论文时，将理论与实践联系起来，并解决之前提出的问题，寻求恰当切入点，进行论文的描述与改写，在论文中加入自己的看法。最后根据导师意见，对论文进行反复修改。

4. 研究创新点

本文通过对凸函数的定义和各种重要性质研究，发现凸函数在数学和经济领域中有着至关重要的作用。在数学领域中，可以通过用凸函数的性质来证明不等式，包括初等不等式，函数不等式以及积分不等式。这三种不等式形式从简单到复杂，如果用一般方法来证明，它的复杂程度就会不断地增加。利用凸函数的性质及定理在解决问题时，最关键的步骤是要找到合适恰当的凸函数。在经济领域中，使获取的利益到达最大化是最重要的一个问题，这就涉及到了数学规划方面的最优问题。最优化问题中通常可以分为线性的和非线性的，凸规划则是凸函数在最优化问题中的实践。在最优化问题中，通过将实际问题转变为数学问题，第一点建立目标函数，提取约束条件，第二点转化成凸函数来解答。由此我们可以看到，凸函数可以应用的领域很广泛。