带记忆项热传导方程的有限元方法开题报告

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1. 研究目的与意义

热传导方程是一个重要的偏微分方程，非常重要的一类数学物理方程，它是描述一个区域里的温度如何随时间变化的方程，是二阶线性偏微分方程中抛物线型的经典代表，它相对于波动方程而言，有着不同的物理背景。热传导方程涉及的大量问题来自于物理、化学、生态、生物等领域的数学模型，具有强烈的实际背景；另一方面，在热传导方程的理论研究中，也给数学家们提出了许多挑战性的问题。关于非线性抛物方程的整体解与爆破等问题的研究已成为非线性抛物方程理论研究中的一个重要方向。在过去的几十年里，热传导方程的整体解和爆破现象被很多学者研究过，得出了许多有意义的结果。

2. 国内外研究现状分析

国内：随着计算机软件技术的发展，微分方程数值解法与科学技术相结合，两者都得到了前所未有的发展。国内学者研究了自适应时空有限元方法，在时间空间同时使用有限元离散求解抛物线方程，同时推广到了求解非线性积分微分方程领域，也对有限元超收敛性质有着深度的研究，对有限元精度提高和后验误差估计有着巨大推进作用。

国外：一些国外学者研究了具有弱奇异核的抛物线积分微分方程的初边值问题，用有限中心差分法在时间空间上离散以有效的解决抛物型微分方程。亦对无界空间域上非线性抛物型积分微分偏微分方程的有限时间爆炸问题和非线性抛物型积分微分方程混合边界条件下的初边值问题有着深入研究。在使用matlab等软件进行数值方法的研究和图形处理技术上日趋成熟，对于数值方法的研究有着深远意义。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

通过对相关文献及方法应用进行探讨与研究，并结合计算机软件给出可行性的计算方法。

研究计划：

4. 研究创新点

毕业设计将给出有限元方法的基础算例，进而延展到带记忆项的热传导方程求解。通过matlab与数值方法相结合，得到更精确、普及型更高、实用性更强的数值计算方法。