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推荐系统加速量子控制优化

普里亚·巴特拉^[1] 哈尔山斯 ·拉姆^[2] 和T·S·马赫什^Dagger;

物理系与核磁共振研究中心，

印度科学教育与研究所，印度浦那411008

量子控制优化算法通常用于生成最佳量子门或有效的量子态传输。然而，在设计高效的优化算法时，存在两个主要挑战，即克服对局部最优的敏感性和提高计算速度。前一个挑战可以通过设计混合算法来解决，例如梯度和模拟退火方法的组合。在这里，我们提出并演示了使用机器学习方法，特别是推荐系统（RS），来应对后一种提高计算效率的挑战。我们首先描述设置涉及梯度或门保真度的评级矩阵的方法。然后，我们确定 RS 可以快速准确地预测稀疏评级矩阵的元素。使用这种方法，我们加快了基于梯度 上升的 量子控制优化，即GRAPE，并展示了高达8个量子位的更快性能。最后，我们描述并实现了混合计算速度的增强算法，即SAGRAPE。

介绍

量子控制对于量子传感等趋势量子技术任务至关重要[1]，可扩展的量子信息设备 [2]， 量子模拟 [3]， 量子热力学 [4]， 量子计量学 [5]等。通常，量子控制优化涉及在给定的物理硬件上找到所需量子动力学的最佳实现[6,7].这种优化算法通常用于控制任务，如酉综合、状态传递、等[8].该领域取得了巨大进展，并开发了许多优化算法，例如基于梯度的算法[9,10]，变分基于原理算法 [11,12]，斩波基差优化 [13,14]和元启发式算法 [15,16].最近，机器学习算法（如强化学习（RL））也被用于酉变换等任务。17]，状态准备 [18]，稳健的控制装置 [19]，以及控制不可积的量子系统[20].最近，机器学习协议也被用于控制量子热机器。[21].

具有梯度分析表达式的优化方法是在参数空间中找到局部最优值的有效方法。量子控制应用中的一类优化算法是基于梯度上升脉冲工程（GRAPE）[9]及其变体（例如，[22-24]）。但是，如果存在太多次优局部解，限制算法达到最优解，则会出现问题。另一方面，元启发式算法可以逃避局部最优，因此在参数空间中执行稳健的搜索。元启发式算法，如 Nelder-Mead 单纯形方法

图 1.加速梯度法，元启发式法，以及通过使用机器学习的两者的混合。

[15]，进化算法[16，25-27]，模拟退火（SA）[28]等已成功应用于量子控制优化。然而，与梯度方法不同，元启发式算法经常遭受缓慢收敛的困扰。为了克服这个问题，最近有人提议将SA（一种元启发式方法）与GRAPE（一种局部搜索方法）相结合，以实现混合SAGRAPE算法[28]。尽管取得了这一进展，但仍然存在量子优化算法计算效率差的问题。随着参数空间随着量子系统的大小呈指数级增长，这个问题变得严重。这就是机器学习功能非常有用的地方（见图1）。 1）。

在机器学习领域，推荐系统（RS）算法被广泛用于向消费者推荐产品[29，30]。在这里，我们建议RS辅助加速GRAPE和SAGRAPE。 GRAPE中最耗时的任务是计算控制序列中每个段的梯度，这涉及矩阵的幂。我们表明，给定一组精确计算的梯度，RS可以准确，快速地预测剩余的梯度。因此，我们可以显著提高优化算法的时间效率。SA 涉及迭代解决方案邻域中的大量函数评估，其中一部分也可以委派给 RS。在这里，我们展示了 RS 加速葡萄和 SAGRAPE 在不牺牲其收敛性的情况下具有显著的时间优势。

本文安排如下。在第二节中，我们介绍了量子控制问题以及两种优化算法，即GRAPE和SA。在第三节中，我们介绍了 RS。在第四节中，我们介绍了RS加速的GRAPE和SAGRAPE，并讨论了它们的性能。本文以第五条的总结和展望结束。

II． 量子控制优化

我们考虑一个具有恒定内部哈密顿量 H0 和 m 控制哈密顿量 {Hj} 的量子系统，使得瞬态哈密顿量由下式给出

m

H（t） = H0 Xomega;j（t）Hj. （1）

j=1

这里 _omega;j（t） 是 jth 控制哈密顿 Hj 的瞬态强度。对于在持续时间 T 内经历薛定谔演化的闭合系统，相应的酉由下式给出

. （2）

这里 D 是戴森时间排序运算符，我们设置了 ~ = 1。考虑到评估一般瞬态哈密顿量传播子的困难，我们通过将控制函数 omega;j（t）划分为 N个段来离散化控制函数，每个段具有恒定的振幅omega;j_，k和持续时间delta; = T / N。第 k 段的相应酉将是

. （3）

整个控制序列的总时间传播器 U（T）可以表示为段 单-

干

U（T） = UNUN_minus;1 ··· U2U1. （4）

在本文中，我们主要关注酉合成，尽管相同的方法可以适用于状态准备。因此，优化过程旨在通过数值生成控制序列{omega;j_，k}来实现特定的目标酉Ut。优化函数由门保真度给出

， （5）

这是目标酉 Ut 与演化酉 U（T） 的重叠。改进的优化函数将最大限度地提高保真度，同时最大限度地减少资源。通常，它相当于最大限度地降低控制字段的功耗。因此，修改后的优化函数 J 可以按如下方式强制转换

J = F minus; Xlambda;jomega;j，k2 ， （6）

j，k

其中 lambda;j 是标量惩罚参数。在下文中，我们将讨论两种优化方法，第一种是梯度法，第二种是元启发式方法。

A .梯度上升脉冲工程（GRAPE）

GRAPE 算法具有以下步骤：

• 从随机对照序列开始。

• 将初始酉算子 U0 = 1 向前传播到第 k 段，即 Xk =

UkUkminus;1 ··· U1U0.

• 向后传播目标酉 Ut 直到第 k 段，即。

• 使用一阶计算每个段的梯度（在范数||delta;H（t）||）表达 [9]

. （7）

• 在梯度方向上更新控制幅度，即步 长在哪里。

GRAPE对于梯度函数具有如此简单的分析形式是非凡的。

在实际场景中，没有物理硬件是完美的。例如，控制场通常与标称值[9]周围的振幅分布相关联。即使有如此不完美的硬件，我们也需要强大的量子控制。为此，可以最大限度地减少

总体成本函数 1 minus; J = 1 minus; _PiPiJi，通过将分布中各个元素的成本 1 minus; Ji 与各自的概率 pi 相加而获得。

模拟退火

在冶金学中，退火涉及将材料加热到高温，然后缓慢冷却，以使材料通过找到其基态来达到稳定的晶体形式。在数值过程中采用了相同的想法，即模拟退火（SA）[31， 32]。给定优化问题，SA从 高温 配置开始，其中即使是非最优解决方案也以一定的概率选择。随着迭代的通过，温度参数逐渐降低，最优解越来越受到青睐。

此随机过程允许算法克服局部最小值并达到全局最小值。SA 的步骤如下 [28]：

• 从随机对照序列开始。将温度设置为高值 T0。

• 在第 i 次迭代中，靠近当前解决方案

，在一组随机的邻域点中确定具有最佳保真度的控制序列。

如果∆ ，其

然后

;否则，.

• 第 i 次迭代后，将温度设置为减值 T^{（i 1）} = gamma;T^（i），其中 gamma; lt; 1 控制冷却速率。

将迭代上述步骤，直到达到所需的优化函数或完成最大迭代次数。请注意，对于较高的温度，该算法可能会采用新的解 {_omega;j，k0 }，即使其保真度低于当前解。这个阶段被称为探索。随着温度的下降，该算法逐渐切换到利用模式，并寻找比当前解决方案更好或略逊的解决方案。勘探和开采的结合帮助SA摆脱了局部最优，朝着全球最优的方向发展。

在我们之前的工作中，我们将SA与GRAPE相结合，形成了混合SAGRAPE算法，并展示了 其卓越的收敛性[28]。在下文中，我们首先描述了推荐系统，一种特定类型的机器学习技术，然后解释了如何使用它来加速GRAPE和SAGRAPE。

推荐系统 （RS）

协同过滤是最受欢迎的RS类型之一，它基于任何特定消费者的经验以及所有消费者的相对偏好[33，34]。在这里，我们使用矩阵分解算法进行协同过滤[35，36]。它涉及以评级矩阵的形式设置数据库R，其中每行代表特定的消费者，每列代表推荐的特定产品[30，37]。评级矩阵可以根据相同维度 f 的潜在向量（称为特征数）进行分解。让参数向量 Theta;^（i） isin; Rf，特征向量 Phi;^（j） isin; Rf 对实空间 ^Rf 中的潜在向量进行编码，用于第 i 个使用者和 jth 乘积。然后通过标量积对预测的评级进行建模

ri，j = Theta;（i） · Phi;（j）. （8）

图 2.说明 RS 的一个示例应用程序。在这里，评级矩阵对应于具有某些可用控制字段的各种任务的不同可行性水平。RS 的目标是预测未知评级。

根据手头的问题，可以指定产品，用户以及评级，并相应地设置评级矩阵。图2说明了一个这样的示例，对于使用各种可用控制场执行某些特定任务的假设量子控制问题。在此示例中，任务是用户，控制域是产品，评级是实现任务的不同可行性级别。RS的工作是有效地预测未知评级。

给定一个稀疏的评级矩阵R，其中缺失的元素对应于未知的偏好，我们的目标是借助嵌入在整个数据库中的集体信息来填充这些缺失的元素。设 kappa; = （i，j） 是评级矩阵中实际评级 Ri_，j 已知的元素。预测评级 _ri，j 和实际评级 _Ri，j 之间的差异由函数 K0 量化为

K0 = X （ri，j minus; Ri，j）2. （9）

（一，j）isin;kappa;

这里的目标是最小化成本函数 K0。通常使用两个正则化参数（_{Lambda;Theta;}，Lambda;Phi;）以避免过度拟合，以便将更改的成本函数写为

. （10）

然后，通过使用任何标准最小化算法最小化成本函数来确定潜在向量 Theta;（i） 和 Phi;^（j）。在我们的例子中，我们使用共轭梯度的PolackRibiere风格来计算搜索方向，并使用二次和三次多项式近似进行线搜索[38-40]。

RS 增强型葡萄和萨格拉普

现在，我们将解释如何使用 RS 来加速 GRAPE 和 SAGRAPE。为了清楚起见，我们使用通过核磁共振（NMR）对自旋动力学进行量子控制的背景。为了研究RS启用的加速，我们考虑了M = 2 n共振异核量子位的自旋系统，并在前两个量子位

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