随机数的产生方法与随机模拟基础文献综述

• 文献综述

在过去的二十多年里，统计学中复杂、耗时的计算难题因为计算机的高速发展而得到极大地改进，同时也孕育出了一些新的统计方法，开创出了一个“新”的统计领域——统计计算。现代统计计算包括数值计算、半数值计算、图计算以及符号计算。在本文中，主要涉及到的是随机模拟，又称蒙特卡洛方法属于半数值计算的一部分。因其基本方法是“蒙特卡罗方法”，所以蒙特卡罗方法在统计计算中常看做是模拟的同义词。

由各种运用伪随机数来解决问题的技术组成称为随机模拟，它包括蒙特卡洛方法及其各种推广或变形。因其简单性、必要性和有效性的特点使得随机模拟在科学探索中运用较为广泛。出于精确性的考量，模拟解可能不如解析解或者数值解，但是在现实的科学探索中，很多问题都不能或者说难于进行解析处理或数值处理，所以应运而生的模拟处理不仅为知识的探求提供了方向，有时更是检验假设、理论和模拟是否成立唯一的途径。随机模拟还是置换检验、自助法、MCMC等重要统计方法的基础，蒙特卡洛方法更已成为了现代科学计算不可或缺的方法之一。

• 1. 随机模拟的一般原理

按照性质的不同，我们蒙特卡洛法能解决的问题大致分为三类：随机性问题、确定性问题、随机性和确定性混合的问题。下面便根据例子进行说明。

• • 1. 随机性问题

记G为一个射击运动员的射击成绩，x表示射击点到靶心间的距离，g(x)表示射击所得分数，f(x)表示射击点分布的密度函数，可得射击成绩G是所得分数g(X)的期望值，即有

若该运动员的射击点依次为x₁, x₂, hellip;，x_N,此次平均得分则是

这里，表示的是G的一个估计值。蒙特卡洛方法在不进行实弹射击的情况，通过计算机模拟，根据分布f(x)中抽样产生x₁, x₂, hellip;，x_N来计算射击成绩G（实际上是计算积分），运用较为简单直观，同时也是在统计模拟中运用最为成功的领域之一。

• • 1. 确定性问题

设U是（0,1）上的均匀随机变量，服从0-1上的均匀分布。积分形式如下

如果随机样本观察值u₁, u₂, hellip;，u_N独立同分布于，则的简单估计为

如果u₁, u₂, hellip;，u_N是由计算机上的随机数发生器产生的伪随机数，则称此估计为蒙特卡罗估计。