变系数椭圆型方程的数值方法开题报告

全文总字数：2190字

1. 研究目的与意义

目的：对常系数的一维与二维椭圆型方程给出中心差分格式的理论分析；其次，利用积分插值法求解变系数的椭圆型方程；最后，用IIM方法求解带间断系数的椭圆型方程；并要求编程具体实现。

意义：绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。

2. 国内外研究现状分析

现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。

目前常用的数值方法有有限差分法和有限元法以及有限体积方法。对于三类基本的偏微分方程椭圆型、抛物型和双曲型方程，椭圆型方程数值解的研究是基础。而关于多孔介质流及复合材料中普遍存在的带间断系数的界面问题的研究，自从二十世纪六十年代就开始受到人们的广泛关注并提出了一系列的方法，如有限差分方法、有限元方法、基于后验误差估计的自适应有限元方法、间断有限元方法、Mortar有限元方法以及有限体积方法等。九十年代李治林教授等提出了Immersed Interface Method(IMM)来解决此类问题，收到了很好的效果，最近A. Loubenets提出了一种浸入界面有限元方法来解带间断系数的两点边值问题。本文将分别考虑带常系数、变系数、间断系数的一维与二维边值问题的数值方法。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

（1) 常系数的一维与二维椭圆型方程给出中心差分格式的理论分析。

（2）利用积分插值法求解变系数的椭圆型方程。

4. 研究创新点

利用九十年代李治林教授提出的Immersed Interface Method(IMM)来解决带间断系数的椭圆型方程。