计数技巧及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

计数技巧是组合数学的基础，是用来研究离散结构计数问题的工具。由于计算机算法中大多都是针对离散的对象来编写算法，故而随着计算机学科的发展壮大，计数技巧也随之丰富起来。计数技巧不仅在计算机领域，在金融分析、企业管理、交通规划、战争指挥等领域中都有着重要应用。可以说，计数技巧丰富了组合数学、丰富了软件领域、更带来了社会的发展。近年来，国内外对于计数技巧的应用越来越频繁，计数技巧成为了不可或缺的知识。在这个算法先行的时代，我们更应牢牢掌握计数技巧。

2. 研究内容和预期目标

1.基本的计数技巧（鸽巢原理、广义鸽巢原理、排列与组合及其推广、生成排列和组合、二项式系数）

2.高级技术技术（递推关系、分治算法和递推关系、生成函数、容斥原理）

3.计数技巧的应用（catalan数及其性质和相关恒等式、ramsey数及其性质和相关恒等式、第一类和第二类stirling数及其性质和相关恒等式、plya计数、麦尔斯韦-玻尔兹曼统计模型使用的计数方法）

3. 国内外研究现状

组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，ATamp;T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的BillGates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，ATamp;T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国重要的国家实际室（LosAlamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。

除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。

4. 计划与进度安排

2022年12月-2022年1月：查询资料，总结分析现存的常见计数技巧

2022年1月-2022年2月：完成初稿工作

2022年3月-2022年4月：论文的修改阶段

5. 参考文献

[1] 费尔，克朗. 离散数学：双语版[m]. 清华大学出版社，2005.

[2] 屈婉玲. 离散数学[m]. 清华大学出版社，2005