凸体的仿射直径开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：

凸几何(又称凸体几何)是现代几何学中以凸体或星体为主要研究对象的一个重要分支. 它以微分几何, 泛函分析, 偏微分方程, 点集拓扑等为基础. 凸几何起源于19世纪末, h.brunn和h. minkowski是这门学科最杰出的奠基人.20世纪30年代, 前苏联著名数学家a. d. aleksandrov在凸体表面积测度上的开创性工作以及t.bonnesen和w. fenchel的著名文献theoryof convex bodies的出版使得凸体研究成为一门独立的数学分支. 凸几何在微分几何、 积分几何、随机几何、体视学、 非线性分析、 信息论、banach空间理论等数学学科以及医学、机器人学等学科中有着广泛的应用。

凸体的brunn-minkowski理论是凸体几何中重要研究分支。以凸体的混合体积以及表面积等几何不变量，和表面积测度、锥体积测度等为主要研究对象。最近凸体的brunn-minkowski理论已经由lp-brunn-minkowski理论推广到orlicz-brunn-minkowski理论。另外对对数 brunn-minkowski理论的研究成为凸体几何的一个新的研究热点。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

grünbaum仿射直径猜想：任意n维凸体存在一个点，使得至少n 1条仿射直径经过该点。本研究主要通过临界弦与仿射直径的关系入手，证明凸体的有n 1条临界弦，完成如下三个命题的证明：

1. 平面凸体存在3条临界弦。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

采取特例分析和归纳总结等方法开展本课题的研究

研究步骤：

4. 参考文献

[1]grünbaumb.measuresof symmetry for convex sets[c]//convexity,proceedingsofsymposia in pure mathematics7.providence:americanmath society, 1963:233-270.

[2]tothg.measuresofsymmetry forconvexsets andstability[m].berlin:springer-verlag,2015.

[3]kleevljr.the critical set of a convex set[j].amerj math,1953,75:178-188.

5. 计划与进度安排

1.2022年2月25日-3月10日，完成开题报告；

2.2022年2月25日-3月24日，阅读凸体几何的主要文献；

3.2022年3月25日-4月24日，整理凸体仿射直径的主要研究成果；