Helly定理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：

几何作为数学的一个分支是最直观的，它起源于古埃及的土地测量，以图形为研究对象。几何的最大特点就是它的直觉性，直觉就是几何得以不断向前发展的创造源泉。然而，凭借直觉得到的一些“毋庸置疑”的结论并不一定正确。早在2300年前，euclidean就建立了几何公理系统，一本《几何原本》统治了几何两千多年。到17世纪笛卡尔、牛顿引进了坐标系、创立了微积分，l.euler、g..monge做了大量的前期工后，由c.f.gauss以曲面论的第一基本形式奠定了微分几何。b.riemann在1854年把这个理论推广到n维空间，由此产生了黎曼几何。1870年f.klein把几何学定义为研究变换群下的不变性质的学科。依据变换群的选择，有欧氏几何学和非欧几何学、投影几何学、仿射几何学等。

凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学。凸体几何起源于19世纪下半叶，h.brunn和h.minkowshi是两位杰出的奠基者。在上世纪，它通常被称为凸几何（convex geometry）或凸分析（convex analysis），主要研究凸体和星体的投影和截面。20世纪30年代，前苏联著名数学家a.d.aleksandrov以及t.bonnesen和w.fenchel引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为为一个独立的数学分支，大大推动了凸几何的发展。近几十年来，凸几何不仅自身有着飞速的发展，与数学的其他学科的联系（例如：群论、泛函分析、代数拓扑等）也越来越密切，它们相互结合，形成了许多新的、充满魅力的数学分支。它在数学领域有着广泛的应用，包括组合论等数学学科、医学等等。特别是上世纪末和本世纪初凸体几何理论已逐渐从经典的向空间发展，并且取得了丰硕的成果。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

1.凸体基础知识整理；

2. helly定理及其等价定理；

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

文献研究法、探索性研究法、讨论法、总结法。

4. 参考文献

grünbaumb.measures of symmetry for convex sets[c]//convexity,proceedings ofsymposia in pure mathematics7.providence:american math society, 1963:233-270.

[2]tothg.measures ofsymmetry forconvexsets andstability[m].berlin:springer-verlag, 2015.

[3]kleevl jr.the critical set of a convex set[j].amerj math, 1953,75:178-188.

5. 计划与进度安排

2022年2月25日-3月10日，完成开题报告；

2.2022年2月25日-3月24日，阅读凸体几何的主要文献；

3.2022年3月25日-4月24日，整理helly定理以及等价定理的主要研究进展；