对称性在积分计算中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

背景： 数学分析是高等院校数学信计专业本科生最重要的基础课之一，而积分计算又是数学分析中的重点和难点，其重要性是不言而喻的。对称性不仅是数学美的重要特征，运用在积分求解的方法中又是一个非常重要的方法，因而探讨对称性在积分计算中的应用就非常必要。

目的： 在某些复杂的积分计算和证明的过程中，特别是涉及二重和三重的积分计算问题用常规的方法解决十分困难，.若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求积分计算的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率，对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。

意义：积分计算中对称性在很多学科领域内有着重要的应用，例如天文学、力学、化学、生物学、工程学等。在现实生活中我们运用对称性可以轻松的解决一些实际问题，例如求某些面积、体积、弧长等。在学习过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了积分计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，（重复，再修改）就能简化积分计算过程，从而能节省更多的时间，也使得学习更轻松、更具科学性、有效性。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

一、对称性在定积分的计算中的定理及应用 1、函数的奇偶性求定积分的相关定理 2、应用举例二、对称性在二重积分的计算中的定理及应用 1、二重积分的对称性求积分的相关定理 2、应用举例三、对称性在三重积分的计算中的定理及应用 1、对称性在三重积分的计算中的相关定理 2、应用举例四、对称性在第一类曲线积分的计算中的定理及应用 1、第一类曲线积分的对称性求积分的相关定理 2、应用举例五、对称性在第二类曲线积分的计算中的定理及应用 1、第二类曲线积分的对称性求积分的相关定理 2、应用举例六、对称性在第一类曲面积分的计算中的定理及应用 1、第一类曲面积分的对称性定理 2、应用举例七、对称性在第二类曲面积分的计算中的定理及应用 1、第二类曲面积分的对称性定理 2、应用举例预期目标：

对“利用对称性简化各类积分运算”这一方法做一个系统、清晰的归纳总结。

3. 研究的方法与步骤

1.调查法：通过图书馆和互联网查找论文信息。2.文献研究法：通过查阅文献和书籍，认真研读论文设计中将会用到的理论和方法，了解本选题的发展趋势，了解积分计算中对称性的应用问题的方法。

3.描述性研究法：将已有的解法、理论通过自己的理解和验证，叙述并解释出来。

4.思维方法：对积分计算中对称性的应用问题的求解方法进行归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辩想象、分析各种解法及举例说明。

4. 参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学第七版上册.高等教育出版社，2017.[2] 同济大学数学系.高等数学第七版下册.高等教育出版社，2017..[3] 施光燕.高等数学讲稿.大连理工大学出版社，2006[4]华东师范大学数学科学学院.数学分析（第五版）上册.高等教育出版社，2019.[5]华东师范大学数学科学学院.数学分析（第五版）下册.高等教育出版社，2019.[6]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.[7]徐小湛.对称性在积分计算中的应用.高等数学研究，2001.（1）：25-28

5. 计划与进度安排

1、2022年3月1日-3月5日，等候指导老师下达毕业论文任务书，了解布置论文工作要求；

2、2022年3月1日-3月12日，根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

3、2022年3月1日-3月12日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；