非保守动力学系统的代数结构与Poisson定理开题报告

1. 研究目的与意义

各个学科之间的交叉渗透研究是当今研究工作的一个重要特点，也是当今各个学科发展进步的重要动力。事实上，目前有很多的数学方法在力学中得到了应用，李群和李代数在分析力学中的应用就是其中之一。

对于约束系统动力学，经过多年的发展与研究，已经有了一整套、完善的积分理论与方法^[1]。其中，传统的分析力学积分方法包括routh降阶方法、whittaker降阶方法、poisson理论、hamilton-jacobi法、正则变换方法、积分不变量方法等等。近代发展起来的积分方法包括场方法、梯度法、单分量方法等等。这些积分方法均得到了许多重要成果。上世纪80年代开始，梅凤翔教授对一系列的约束力学系统的积分方法展开了细致的研究，取得了很多重要成果。比如whittaker降阶方法对非完整力学的推导^[2]，高阶非完整系统的routh降阶法^[3]等。刘端^[4]教授对非完整力学系统的routh方法同样进行了研究，并且给出了非完整约束力学系统的循环积分，导出了chaplygin方程的降阶方法。张解放^[5]教授对非完整约束下的积分不变量构造以及非等时方程进行了研究，导出了积分不变量构造理论、非完整约束系统下的非等时变分方程。梅凤翔和吴惠彬^[6]共同研究了关于birkhoff系统的积分不变量构造和该系统的第一积分理论。梅凤翔、吴惠彬以及张永发^[7]共同对一二阶微分方程的hamilton—jacobi方法进行了研究。

poisson积分法也是分析力学中传统的积分方法，有着广泛的应用与研究。poisson定理表明：由哈密顿正则方程的不处于相互内旋的两个首次积分通过计算poisson括号可得到其新的首次积分。poisson积分法的应用常常与各类系统运动方程的代数结构有着紧密相关的联系。各类系统的微分方程统一由抽象的代数去描述，会有更高的观点，而且更能反应出其中的本质^[8]。1995年，梅凤翔^[8]教授对完整力学系统的代数结构进行了研究。运动方程的代数结构被归结为了两大类，分别是李代数结构和李容许代数结构。其中，特殊完整系统可以被归结为李代数结构，poisson理论可以完整地应用于这类系统。一般完整力学系统的运动微分方程可以被归结为李容许代数结构，poisson理论可以部分应用与此类系统。1996年，梅凤翔^[9]教授对chaplygin方程的代数结构进行了研究。chaplygin方程不具有拉格朗日方程的形式，但同样拥有李容许代数结构，满足一定条件还满足李代数结构。同年，梅凤翔^[10]教授又对非完整系统的代数结构和poisson理论进行了研究，给出了特殊非完整系统具有李代数结构的条件，证明了一般非完整系统具有李容许代数结构，还论述了它们的poisson理论。

2. 研究内容和预期目标

本课题主要研究的内容是将约束力学系统的代数结构和poisson理论进一步推广。

第一，综述分析力学发展以来完整系统和非完整系统的积分理论与积分方法。

第二，综述前人对约束力学系统的代数结构与poisson理论的研究的历史与现状。并学习研究方法。

3. 研究的方法与步骤

本课题主要的研究方法一是对相关文献资料的检索和分析。和众多科研人员一样，我对非保守系统的代数结构和Poisson定理的研究同样要查阅许多文献和书籍，以补充自己的知识。我检索文献时，首先明确自己要查找的文献的主题，比如完整或非完整动力学系统、代数结构、Poisson定理；其次选择检索工具，我主要的检索工具是中国知网；最后根据查到的文献，再分析其参考文献，逐步找到足够多的符合自己选题要求的文献。研究方法二是知识总结法。找到相关文献和书籍后，逐篇阅读，遇到不懂的物理数学知识及时重新学习补充，遇到没有学过的知识先自己理解，理解不了先跳过，最后再总结规律或者寻求老师帮助。对每一篇文献做读书笔记，以便综合复习和总结，把相关的知识，用到的方法总结串联起来，从而找到自己研究的方向和道路。

具体的研究步骤为：第一，明确自己的课题的主要内容，选择一些涉及本课题的知识去理解，明确以后的主攻方向。第二，搜集、阅读和整理资料，做必要的知识储备。第三，在初步论证和组织下拟写开题报告。第四，外文资料翻译，阅读英文文献并且翻译成中文，了解国内外研究现状。第五步，撰写毕业论文。第六步，对毕业论文进行修改与定稿。第七步，准备毕业答辩。

4. 参考文献

1. 葛伟宽. 约束系统动力学方程的积分理论及其研究进展. in: 庆祝中国力学学会成立50周年暨中国力学学会学术大会’2007. 中国北京; 2007.pp. 1.

2. 梅凤翔. whittaker方程对非完整力学系统的推广. 应用数学和力学 1984;(01):61-66.

3. 梅凤翔. 高阶非完整系统运动方程的routh降阶法. 科学通报 1990; (16):1221-1224.

5. 计划与进度安排

（1）毕业实习：第1-3周（2月24日-3月15日）

（2）文献检索，提交开题报告：第4周（3月16日-3月22日）；

（3）论文研究，提交外文翻译初稿：第5-6周（3月23日-4月5日）；