波动方程的有限元方法开题报告

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1. 研究目的与意义

波动方程可用于描述波以一定速度传播的物理现象，并在很多科学和工程领域中有着重要应用，例如：空气动力学，弹性力学、水力学、石油勘探等，具有重要的研究意义。

波动方程模型是双曲型偏微分方程，一般而言，这类问题的解不能用解析的公式表达出来，或者表达式过于复杂，因而需要采用数值方法去计算它们的近似解。

而有限元方法正是数值求解偏微分方程的一种方法。

2. 国内外研究现状分析

有限元法的发展历程可以分为提出(1943年)、发展(1944年至1960年)和完善(1961年至二十世纪九十年代)三个阶段，它是在内外动力的综合作用下产生的：　　1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生；　　有限元法早期(1944年至1960年)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。

1960年，克劳夫第一次提出了有限元法这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束；　　有限元法完善阶段(1961年至二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索：　　在国外的发展主要表现为：第一，建立了严格的数学和工程学基础；第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域；第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论；第四，发展起了相应的商业软件包；在国内，我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。

1965年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。

3. 研究的基本内容与计划

研究的内容及要求：（1）要求掌握该课题研究的基本理论，建立波动方 程相应的变分形式；（2）建立与之相对应的有限元方程；（3）编程实现有限元算法，给出数值算例；（4）对影响结果的每个数据因素进行解释；（5）要求能够进行资料的收集、加工和整理，并进行必要的理论分析，结合计算机解决实际问题，得出分析结论； 研究与写作计划：2014.2.102014.3.20：收集相关文献资料，分析研究的目的以及意义，写开题报告； 2014.3.212014.4.10：理论分析，进行论文初稿的撰写；2014.4.112014.4.20：编译论文中相关的程序；2014.4.212014.5.15：深入研究，撰写论文，根据导师的意见进行多次修改并定稿； 2014.5.152014.5.30：打印论文，制作答辩的PPT；

4. 研究创新点

（1）对有限元法的理论基础、有限元法的重要应用以及如何求解双曲型方程都进行了详细的阐述；（2）运用所学的知识，对实际问题进行分析理解，并编译matlab程序，从简单的方程入手，得出一般的算法；