代数多重网格法之初探开题报告

全文总字数：434字

1. 研究目的与意义

多重网格法包括几何多重网格(GeometricMulti-Grid,GMG)法与代数多重网格(AlgebraicMulti-Grid,AMG)法。代数多重网格方法（AMG）是在一般多重网格方法的思想和理论的基础上，逐步建立起来的一种求解线性代数方程组的迭代算法。它可以不需要知道所求问题的几何和物理性质，而只需利用线性方程组的系数矩阵的信息来构造出一套虚拟的网格，从而进一步应用多重网格的思想求解。相比几何多重网格而言，代数多重网格方法主要应用纯代数的多水平方法来处理矩阵方程，在很多不同种类的实际问题中在算法上表现出较好的稳健性和高效性，特别是在求解某些大规模稀疏的无结构矩阵。代数多重网格(AMG)方法的有效性在于光滑过程与粗网格校正过程的相互补充，而粗网格校正过程的关键在于粗网格点的选取以及插值算子的构造。我们将致力于AMG方法中插值算子构造的研究，提出了一种新的插值算子，并对经典插值算子中权重的计算方法进行了改进。最后通过数值实验验证插值算子的有效性。

2. 国内外研究现状分析

1.多重网格算法经过近20年的研究，在经典应用领域--线性和非线性、标量和非标量椭圆型问题取得了丰硕的成果。

2.八十年代开始已深入到计算流体力学（cfd）,时间相关问题、波动方程、积分方程等领域。

3.多重网格算法在其他领域也取得大量成果，如统计物理中的快速monte-carlo方法、积分变换、图像处理等等。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

用常见的直接法与迭代法求解五点差分格式离散系统；其次，理解代数多重网格算法迭代过程，然后对amg提出了一种新的插值算子；最后编程具体实现。

研究方案与时间安排：

4. 研究创新点

此次论文在经典代数多重网格方法的直接插值算子的构造基础上，提出了一种新的较为简单的插值方式，比较适合用于代数多重网格方法做预条件子时，初始值的选取。